Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

141
у
х
32
3
12 3
Рис. 44
площадь по формуле (10.1):
26
2
(3 1 0,5 2)S х х dx= −− − =
∫
26
2
2х =
2⋅125 – 2 –
–169 + 1– 52 + 4 = 32.
Пример2
. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, за-
данной параметрическими уравнениями
3
3
32cos ;
2sin ;
12 3, ( 12 3).
хt
yt
хх
=
=
= ≥
Решение. Здесь
33
( ) 32cos , ( ) 2sint tt tϕ= ψ=
. Строим фигуру (рис.
44) и вычисляем площадь заштрихованной части, для чего находим преде-
лы интегрирования из уравнения
33
33 3
32cos 12 3, cos , cos , ;
8 26
t t tt
π
= = = = ±
33
32cos 32, cos 1, cos 1, 0t t tt= = = =
.
Так как область симметрична относительно оси Ох, находим пло-
щадь только верхней её части
1
S
, тогда вся площадь фигуры будет равна
1
2SS=
.
Находим производную
2
( ) 96cos sint tt
′
ϕ=−
и вычисляем
1
S
по
формуле (10.2):
0
32
1
6
2sin 96cos sinS t t t dt
π
=−⋅ =
∫
 площадь по формуле (10.1):
     26
                                       ( х − 1)3 2 ⋅ 2 26       х 2 26     26
=S   ∫    (3 х − 1 − 0,5 х − 2)
                             =  dx 3
                                              3         2
                                                          − 0,5
                                                                 2 2
                                                                       − 2х = 2⋅125 – 2 –
                                                                            2
     2
 –169 + 1– 52 + 4 = 32.

      П р и м е р 2 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, за-
                                          х = 32cos3 t ;
                                         
                                         
 данной параметрическими уравнениями  y = 2sin 3 t ;
                                         
                                     =    х 12 3, ( х ≥ 12 3).

                            ϕ(t ) 32cos3 t ,=
       Р е ш е н и е . Здесь=               ψ (t ) 2sin 3 t . Строим фигуру (рис.
 44) и вычисляем площадь заштрихованной части, для чего находим преде-
                                               у

                                               3

                                                                     32
                                                        12 3
                                                                          х



                                              Рис. 44
 лы интегрирования из уравнения
                                       3 3            3       π
          32cos3 t = 12 3, cos3 t =        , cos t =    , t= ± ;
                                        8            2        6
               3          3
          32cos= t 32, cos=        =
                            t 1, cos t 1,=t 0.
        Так как область симметрична относительно оси Ох, находим пло-
 щадь только верхней её части S1 , тогда вся площадь фигуры будет равна
 S = 2 S1 .
      Находим производную ϕ′(t ) =
                                 −96cos 2 t sin t и вычисляем S1 по
 формуле (10.2):
          0
    − ∫ 2sin 3 t ⋅ 96cos 2 t sin t dt =
 S1 =
          π6



                                             141

Страницы