Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

142
=
6
42
0
192 sin cost t dt
π
⋅=
∫
6
22
0
192 (sin cos ) sint t t dt
π
⋅=
∫
6
2
0
sin 2 1 cos2
192
42
tt
dt
π
−
⋅=
∫
6
22
0
24 (sin 2 sin 2 cos2 )t t t dt
π
= −⋅ =
∫
6
0
1 cos4
24
2
t
dt
π
−
−
∫
6
2
0
12 sin 2 (sin 2 )td t
π
=
∫
6 6 36
0 00
1 sin 2
12 12 sin 4 12
43
t
tt
π ππ
= −⋅ − =
=
3 33 33 33
23 4 2 233.
2 8 22
π− − = π− − = π−
Следовательно,
1
2 4 63= = π−SS
≈
2,17.
Пример 3
. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
1 2 cosρ= + ϕ
.
Решение. Найдём пределы интегрирования из условия
( ) 0.ρϕ ≥
Следовательно,
13 3
1 2 cos 0, cos ,
44
2
ππ
+ ϕ≥ ϕ≥− − ≤ϕ≤
.
Но так как фигура расположена симметрично относительно полярной оси в
силу чётности функции
cosϕ
, достаточно вычислить половину её площади
1
S
по формуле (10.3):
33
44
22
1
00
11
(1 2 cos ) (1 2 2 cos 2cos )
44
Sd d
ππ
= + ϕ ϕ= + ϕ+ ϕ ϕ=
∫∫
3
3
4
4
0
0
1 1 (1 cos 2 ) 1 3 3
( 2 2 sin ) 2 2 sin
4 2 2 44 4
d
π
π
+ϕ π π

= ϕ+ ϕ + ϕ= + +


∫
3
4
0
1 1 13 2 3 1 3 13 1
sin 2 2 2 sin 2
4 2 44 2 4 2 2 42 2
π

π π ππ

+ ϕ+ ϕ = + ⋅ + + = + − =




         π6                            π6                                       π6
                                                                     sin 2 2t 1 − cos 2t
         ∫                     192 ∫ (sin t ⋅ cos t ) sin t dt =
                                                               192 ∫
                  4      2                                  2    2
  =192        sin t ⋅ cos t dt =                                             ⋅           dt =
                                                                        4          2
        0                              0                                        0
       π6                                             π6                        π6
                                                           1 − cos 4t
         ∫                                            ∫                         ∫
                  2           2
= 24         (sin 2t − sin 2t ⋅ cos 2=
                                     t ) dt 24                        dt − 12        sin 2 2t d (sin 2t ) =
                                                                2
         0                                            0                         0
         π6           π6
              1               sin 3 2t π 6 π       2π         π
= 12t   − 12 ⋅ sin 4t    − 12          = 12 − 3sin    − 4sin 3 =
      0       4       0          3      0  6        3         3

                       3    3 3        3 3 3 3
         = 2π − 3        −4     = 2π −    −    = 2π − 3 3.
                      2      8          2   2
  Следовательно, S = 2 S1 = 4π − 6 3 ≈ 2,17.

         П р и м е р 3 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
  ρ = 1 + 2 cos ϕ .
         Р е ш е н и е . Найдём пределы интегрирования из условия ρ(ϕ) ≥ 0.
                                           1      3π     3π
  Следовательно, 1 + 2 cos ϕ ≥ 0, cos ϕ ≥ −   , −    ≤ϕ≤    .
                                            2      4      4
  Но так как фигура расположена симметрично относительно полярной оси в
  силу чётности функции cos ϕ , достаточно вычислить половину её площади
  S1 по формуле (10.3):
             3π                            3π
              4                             4
         1                             1
             ∫ (1 +                        ∫ (1 + 2
                              2
 =
 S1                   2 cos ϕ)= dϕ                    2 cos ϕ + 2cos 2 ϕ=
                                                                        )d ϕ
         4                             4
             0                             0
                             3π   3π
                                   4
     1                  1 (1 + cos 2ϕ)
                              4             1  3π     3π 
 =     (ϕ + 2 2 sin ϕ) + ∫             d ϕ=  + 2 2 sin  +
     4                0 2       2           4 4        4 
                          0

                         3π
   1    1          1  3π
                        4          2 3π 1     3π  1  3π  1
  +  ϕ + sin 2ϕ=
                         + 2 2 ⋅   +  +  sin=       +2−= 
   4    2       0 4 4           2   4 2      2  4 2    2




                                                 142

Страницы