Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

144
где
2
2
22
cos cos 1
, , ,1() 1
3 2 sin
sin sin
xx
ab y y
x
xx
ππ
′′
== = +=+ =
.
Следовательно,
22
2
2
3
33
11
ln tg
sin 2
sin
x
l dx dx
x
x
ππ
π
π
ππ
= = = =
∫∫
1
ln tg ln tg ln1 ln ln 3 0,55
46
3
ππ
= − =−=≅
.
Пример 2
. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметриче-
скими уравнениями
4(2cos cos2 );
4(2sin sin 2 ).
х tt
y tt
= −
= −
(
0 t≤ ≤π
).
Решение. Длину дуги находим по формуле (10.5), где
0, ,α= β=π
( ) 4( 2sin 2sin 2 ) 8( sin sin 2 ),
′
=− + =−+xt t t t t
22 2 2 2
( ) ( ) 64(sin 2sin sin 2 sin 2 cos 2cos cos2x y t tt t t tt
′′
+= − + + − +
2
cos 2 ) 64(2 2(cos2 cos sin 2 sin )) 128(1 cos )t tt tt t+ =− + =−=
22
128 2sin 256sin
22
tt
=⋅=
.
Следовательно,
2
0
00
256sin 16sin 16 2cos 32cos 32cos0
22 22
tt t
l dt dt
ππ
π
π
= = =−⋅ =− + =
∫∫
32.
Пример 3.
Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в
полярных координатах
34
3 ,0
3
e
ϕ
π
ρ= ≤ϕ≤
.
Решение.
Длину дуги находим по формуле (10.6),
где
34
12
3
0, , ( ) 3 ,
34
e
ϕ
π
′
ϕ= ϕ = ρϕ= ⋅
2 2 32 32 32 32
81 81 225
() 9 9
16 16 16
e ee e
ϕ ϕϕ ϕ

′
ρ +ρ = + = + =


.
Следовательно, 
      π    π       cos x              cos 2 x    1
где a = , b= , y ′ = , 1 + ( y ′) =
                                 2
                                   1+         = .
      3    2       sin x              sin 2 x sin 2 x
                         π2                 π2
                        1          1           x π2
Следовательно,
        =      l ∫ =          ∫
                           dx =        dx ln=
                                            tg
                         2       sin x         2 π3
                 π 3 sin x    π3
        π        π          1
=
ln tg     − ln tg =ln1 − ln    =
                               ln 3 ≅ 0,55 .
        4        6           3

     П р и м е р 2 . Вычислить длину дуги кривой, заданной параметриче-
скими уравнениями
                       = х 4(2cos t − cos 2t );
                                                ( 0 ≤ t ≤ π ).
                       = y 4(2sin t − sin 2t ).
       Р е ш е н и е . Длину дуги находим по формуле (10.5), где α = 0, β = π,
                     x′(t ) = 4(−2sin t + 2sin 2t ) =8(− sin t + sin 2t ),
                     y ′(t ) =4(2cos t − 2cos 2t ) =8(cos t − cos 2t ),
( x′)2 + ( y ′)=
               2
                 64(sin 2 t − 2sin t sin 2t + sin 2 2t + cos 2 t − 2cos t cos 2t +
+ cos 2 2t ) =64(2 − 2(cos 2t cos t + sin 2t sin t )) =128(1 − cos t ) =
               t            t
=⋅128 2sin 2 =     256sin 2 .
               2            2
       Следовательно,
   π                     π
               2 t       t                t π          π
l=∫ 256sin
           2
             dt =∫ 16sin
                         2
                           dt =−16 ⋅ 2cos
                                          20
                                              =− 32cos
                                                       2
                                                         + 32cos0 =
                                                                  32.
   0                     0


      П р и м е р 3 . Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в
                                              π
полярных координатах
                   =      ρ 3e3ϕ 4 , 0 ≤ ϕ ≤ .
                                               3
      Р е ш е н и е . Длину дуги находим по формуле (10.6),
                     π
где ϕ1 = 0, ϕ2 = , ρ′(ϕ) = 3 ⋅ e3ϕ 4 ,
                                 3
                     3           4
                                          81  225 3ϕ 2
      ρ′)2 9e3ϕ 2 + e=
                       81 3ϕ 2
ρ2 + (=                         e3ϕ 2  9 +=       e    .
                       16                 16   16
Следовательно,

                                            144

Страницы