Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

143
1 3 3 3( 1)
42 2 8
π π+

= +=


. Следовательно,
1
3( 1)
2
4
SS
π+
= =
≅
3,1.
2.3 Вычисление длины дуги плоской кривой
1. Пусть дуга AB плоской кривой задана уравнением
()y fx=
, где
()fx
– непрерывно дифференцируемая функция. Тогда длина дуги AB
находится по формуле
2
1 ( ( ))
b
a
l y x dx
′
= +
∫
. (10.4)
2. В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями
(), ()x ty t=ϕ=ψ
, где
– непрерывно дифференцируемые функ-
ции, то длина дуги
l
вычисляется по формуле
22
( ( )) ( ( ))l x t y t dt
β
α
′′
= +
∫
, (10.5)
где α, β – значения параметра t , соответствующие концам дуги – точкам
А и В.
7. Если гладкая кривая заданна в полярной системе координат уравне-
нием
()ρ=ρϕ
, то длина дуги
l
вычисляется по формуле
2
1
22
( ( )) ( ( ))ld
ϕ
ϕ
′
= ρϕ + ρ ϕ ϕ
∫
, (10.6)
где значения
1
ϕ
и
2
ϕ
соответствуют концам дуги.
Пример 2. Вычислить длину дуги кривой
lnsin ,
32
yx
ππ
= ≤ϕ≤
.
Решение. Длину дуги находим по формуле (10.4),
х
у
b
0
a
B
A
l
Рис. 45 
    1  3π   3  3(π + 1)                       3(π + 1)
=      +     =          . Следовательно,=
                                          S 2=
                                             S1          ≅ 3,1.
    4 2     2     8                              4

               2.3 Вычисление длины дуги плоской кривой
       1. Пусть дуга AB плоской кривой задана уравнением y = f ( x) , где
 f ( x) – непрерывно дифференцируемая функция. Тогда длина дуги AB
находится по формуле
                                       b
                           =l          ∫   1 + ( y ′( x))2 dx .                    (10.4)
                                       a

                                               у
                                                                        B
                                A                    l


                                   a            0                   b       х


                                               Рис. 45
2. В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями
 x=           ψ (t ) , где ϕ(t ), ψ (t ) – непрерывно дифференцируемые функ-
     ϕ(t ), y =
ции, то длина дуги l вычисляется по формуле
                           β
               =l          ∫        ( x′(t ))2 + ( y ′(t ))2 dt ,                   (10.5)
                           α
где α, β – значения параметра t , соответствующие концам дуги – точкам
А и В.
   7. Если гладкая кривая заданна в полярной системе координат уравне-
нием ρ = ρ(ϕ) , то длина дуги l вычисляется по формуле
                            ϕ2
                      =l       ∫       (ρ(ϕ))2 + (ρ′(ϕ))2 d ϕ ,                    (10.6)
                               ϕ1
где значения ϕ1 и ϕ2 соответствуют концам дуги.
                                                                                π    π
       П р и м е р 2 . Вычислить длину дуги кривой
                                            =      y ln sin x,                    ≤ϕ≤ .
                                                                                3    2
       Р е ш е н и е . Длину дуги находим по формуле (10.4),

                                                   143

Страницы