Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

140
2.2 Вычисление площадей плоских фигур
1. Если заданная фигура ограничена графиками функций
1
()у fx=
,
2
()у fx=
и прямыми
,x ax b= =
, причём
12
() ()fx f x≤
при всех
[, ]x ab∈
, то площадь фигуры равна
21
( () ())
b
a
S f x f x dx= −
∫
. (10.1)
2. Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной парамет-
рическими уравнениями
()
()
= ϕ
= ψ
α≤ ≤β
xt
yt
t
, то площадь криволинейной трапеции
, (10.2)
где α и β определяются из уравнений
()ϕα =a
,
()ϕβ =b
.
3. Если фигура ограничена линией, заданной уравнением в поляр-
ной системе координат
()ρ=ρϕ
и двумя лучами
1
ϕ=ϕ
и
2
ϕ=ϕ
, то её
площадь выражается интегралом
2
1
2
1
( ( ))
2
Sd
ϕ
ϕ
= ρϕ ϕ
∫
. (10.3)
Пример 1
. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
31yx= −
и
1
2
2
yx= +
.
Решение
. Находим точки пересечения данных кривых:
1
31 2
2
xx−= +
. Возводим обе части уравнения в квадрат, получаем квад-
ратное уравнение и находим его корни:
22
11
9( 1) 2 4, 7 13 0,
44
49 13 36,
x xx xx
D
−= + + − + =
=−=
1, 2 1 2
76
2(7 6), 2, 26.
1
2
4
x xx
±
==±==
⋅
Строим фигуру (рис. 43) и вычисляем её
х
у
2
26
3
15
у=0,5х+2
у=3
1х −
Рис. 43 
                   2.2 Вычисление площадей плоских фигур
       1. Если заданная фигура ограничена графиками функций у = f1 ( x) ,
у = f 2 ( x) и прямыми  =x a=, x b , причём f1 ( x) ≤ f 2 ( x) при всех
x ∈ [a, b] , то площадь фигуры равна
                                 b
                      =S         ∫ ( f2 ( x) − f1 ( x))dx .          (10.1)
                                 a
      2. Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной парамет-
                        x = ϕ(t )
                       
рическими уравнениями  y = ψ (t ) , то площадь криволинейной трапеции
                       α ≤ t ≤ β
                       
                                 β
                            S=   ∫ ψ(t ) ⋅ ϕ′(t )dt ,               (10.2)
                                 α
где α и β определяются из уравнений ϕ(α) =a , ϕ(β) =b .
      3. Если фигура ограничена линией, заданной уравнением в поляр-
ной системе координат ρ = ρ(ϕ) и двумя лучами ϕ = ϕ1 и ϕ = ϕ2 , то её
площадь выражается интегралом
                                 ϕ2
                          1
                                 ∫ (ρ(ϕ))
                                             2
                        =
                        S                        dϕ.               (10.3)
                          2
                                 ϕ1
        П р и м е р 1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
                             1
      =   y 3 x −1 и =    y    x + 2.
                             2
        Р е ш е н и е . Находим точки пересечения данных кривых:
            1
3 x − 1=      x + 2 . Возводим обе части уравнения в квадрат, получаем квад-
            2
ратное уравнение и находим его корни:
                                                    у
            1 2              1 2
9( x − 1)=    x + 2 x + 4,     x − 7 x + 13= 0, 15
            4                4
                                                 у=3 х − 1
D = 49 − 13 = 36,
        7±6                                                  у=0,5х+2
x1,2 = =         2(7 ± 6), x1 = 2, x2 =   26.
            1                                    3
         2⋅
            4
                                                    2                     26
                                                                             х
Строим фигуру (рис. 43) и вычисляем её                     Рис. 43

                                       140

Страницы