Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

121
должны быть размеры конуса (высота Н и радиус основания R), чтобы на
шатер ушло наименьшее количество полотна?
Р е ш е н и е. Объём конуса находится по формуле
2
1
3
V RH
= π
, бо-
ковая поверхность конуса
S Rl= π
, где
l
- образующая конуса.
22
lHR= +
. Таким образом, надо найти наименьшее значение функции
22
S RR H=π+
, при условии, что
2
2
1 9 27
32
2
RH H
R
π = π⇒ =
. Следова-
тельно,
26
2
4
27 4 729
()
2
4
R
SR R R
R
R
+
=π +=π
. Исследуем полученную
функцию на экстремум:
Найдём критические точки из условия
() 0SR
′
=
.
3
6
66
26
8 729 729 9 9 3
0, 8 729 0, , 2,1
2 82 2
2
4 729
R
RR R
RR
π−

⋅ = −= = = ==≈


+
(
0R ≠
по условию задачи).
2
27 27 2
3
29
2
H
R
⋅
= = =
⋅
м.
Итак, для того, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна,
высота шатра должна быть
3H =
м и радиус основания
2,1R =
м.
Тема 9. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Бермант А.Ф., Араманович И.Г., глава 5, §1. Пискунов Н. С., часть 1, гл. 10.
Письменный Д.Т., часть 1, § 29-34. Баврин И.И., Матросов В.Л., § 9.1-9.5 .
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 9.
()VR
′
()VR
32
– +
min 
 должны быть размеры конуса (высота Н и радиус основания R), чтобы на
 шатер ушло наименьшее количество полотна?
                                                            1
       Р е ш е н и е. Объём конуса находится по формуле V= πR 2 H , бо-
                                                            3
 ковая поверхность конуса S = πRl , где l - образующая конуса.
=l H 2 + R 2 . Таким образом, надо найти наименьшее значение функции
                                   1        9          27
  πR R 2 + H 2 , при условии, что πR 2 H =
 S=                                           π ⇒ H=      . Следова-
                                   3        2         2R2
                              27 2   4 R 6 + 729
                πR R 2 +
 тельно, S ( R) =                  =
                                   π             . Исследуем полученную
                                 4       2 R
                              4R
 функцию на экстремум:
                                        24 R5
                          ′                ⋅ R − 4 R 6 + 729
            4 R 6 + 729  π        6
          π
 S ′( R ) =               = ⋅ 2 4 R + 729                   =
                2R       2               R 2
                        
 π 12 R 6 − 4 R 6 − 729 π    8 R 6 − 729
 =⋅                    =  ⋅               .
 2 R 2 4 R 6 + 729      2 R 2 4 R 6 + 729
 Найдём критические точки из условия S ′( R) = 0 .
                                                                     3
 π    8 R 6 − 729                              729  9      9   3
   ⋅               = 0, 8 R 6 − 729 = 0, R 6 =    =  , R =   =    ≈ 2,1
 2 R 2 4 R 6 + 729                              8  2       2    2
                                        27 27 ⋅ 2
 ( R ≠ 0 по условию задачи). =
                             H         = = 3 м.
                                       2R2  2⋅9
                                        –             +   V ′( R )
                                             3    2
                                                          V ( R)
                                             min
 Итак, для того, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна,
 высота шатра должна быть H = 3 м и радиус основания R = 2,1 м.

                  Тема 9. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

     Бермант А.Ф., Араманович И.Г., глава 5, §1. Пискунов Н. С., часть 1, гл. 10.
     Письменный Д.Т., часть 1, § 29-34. Баврин И.И., Матросов В.Л., § 9.1-9.5 .
     Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 9.

                                            121

Страницы