Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 117 стр.

                                          28

                                                               y= x + 10




                                           Рис. 40


     П р и м е р 2 . y = xе− x 2 .
                              2


      Р е ш е н и е . Воспользуемся общей схемой исследования функции.
  1. Область определения функции (−∞; + ∞) .
  2. Так как функция непрерывна, то вертикальных асимптот нет.
  3. Так как у = 0 при х = 0, то график функции проходит через начало ко-
ординат.
                      − xе− x 2 =
                                2
  4. Так как y (− x) =           − y ( x) , то функция нечетна и ее график
симметричен относительно начала координат.
  5. Исследуем функцию на монотонность:
          x ′ е x 2 − x ⋅ xе x 2 е x
                   2            2      2
                                                           2
                                                            (1 − x 2 ) 1 − x 2
    =y ′ =              =                                =                   .
          x2 2         x2                                  x2          x2 2
         е           е                                   е           е
Если y ′ = 0 , то 1 − x 2 =
                          0 , откуда x1 =
                                        −1, x2 =
                                               1.

                                –          +           –         y′

                                    –1            1             y
                                    min          max

                            1                     1
           ymin (−1) = −        ≈ −0,6 , ymax=
                                             (1)      ≈ 0,6 .
                           е1 2                  е1 2

                                               116