Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

14
литель по любой строке или столбцу. На этом свойстве основан метод вы-
числения определителей более высоких порядков.
Пример 7
. Вычислить определитель четвёртого порядка
22
12 22 32 42
2 0 31
231
1 310
0 (3) 0 2 3(1) 3 4 1
3 0 41
322
3 2 22
A AAA
+
−−
=⋅+−⋅+⋅+⋅=−⋅− +
42
2 31
2(1) 1 1 0 31(3) 21(2) 9 4 5.
3 41
+
+⋅− − =−⋅⋅− + ⋅⋅− = − =
Разложили определитель по второму столбцу, так как в нём содержалось
два нуля, что значительно упростило вычисления.
9) Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на
алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного
ряда равна нулю.
Так, например,
11 21 12 22 13 23
0aA aA aA⋅ +⋅ +⋅ =
.
Обратная матрица
Квадратная матрица
A
называется невырожденной, если её опреде-
литель не равен нулю:
det() () 0AA=∆≠
, и вырожденной, если
det( ) 0A =
.
Матрица
1
A
−
называется обратной матрице
A
, если выполняются
условия
, где
E −
единичная матрица.
Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, которая
определяется формулой
*
1
()
A
A
A
−
=
∆
, где
*
A −
союзная матрица, состав-
ленная из алгебраических дополнений всех элементов транспонированной
матрицы
A
.
Для матрицы третьего порядка обратная матрица имеет вид
11 21 31
1
12 22 32
13 23 33
1
()
AAA
A AAA
A
AAA
−


=

∆


. (1.2)
Свойства обратной матрицы: 
литель по любой строке или столбцу. На этом свойстве основан метод вы-
числения определителей более высоких порядков.
     П р и м е р 7 . Вычислить определитель четвёртого порядка

 2    0   3 1
                                                                    2 3 1
−1 −3 1 0
                =                                        −3 ⋅ (−1)2 + 2 3 4 1 +
                0 ⋅ A12 + (−3) ⋅ A22 + 0 ⋅ A32 + 2 ⋅ A42 =
 3    0   4 1
                                                                    3 2 2
 3    2   2 2
               2 3 1
+2 ⋅ (−1)4 + 2 −1 1 0 =−3 ⋅ 1 ⋅ (−3) + 2 ⋅ 1 ⋅ (−2) =9 − 4 =5.
               3 4 1
Разложили определитель по второму столбцу, так как в нём содержалось
два нуля, что значительно упростило вычисления.
      9) Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на
алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного
ряда равна нулю.
      Так, например, a11 ⋅ A21 + a12 ⋅ A22 + a13 ⋅ A23 =
                                                       0.

                              Обратная матрица
     Квадратная матрица A называется невырожденной, если её опреде-
                              ∆( A) ≠ 0 , и вырожденной, если det( A) = 0 .
литель не равен нулю: det( A) =
     Матрица A−1 называется обратной матрице A , если выполняются
условия A ⋅ A−1= A−1 ⋅ A= E , где E − единичная матрица.
     Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, которая
                               A*
определяется формулой A−1 =          , где A* − союзная матрица, состав-
                              ∆( A)
ленная из алгебраических дополнений всех элементов транспонированной
матрицы A .
     Для матрицы третьего порядка обратная матрица имеет вид
                                    A11 A21 A31 
                         −1    1                   
                        A =          A12 A22 A32  .               (1.2)
                             ∆( A)                 
                                    A13 A23 A33 
     Свойства обратной матрицы:

                                         14

Страницы