Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

15
1)
( )
( )
1
1
det
det
A
A
−
=
;
2)
( )
1
11
AB B A
−
−−
⋅=⋅
;
3)
( ) ( )
1
1
T
T
AA
−
−
=
.
Пример 8. Для матрицы
13
24
A

=


найти обратную.
Решение. 1) Вычислим определитель матрицы
13
46 20
24
∆= = − =− ≠
, следовательно, матрица невырожденная и можно
найти обратную.
2) Находим союзную матрицу. Для этого вычисляем алгебраиче-
ские дополнения элементов заданной матрицы :
11 12 21 22
4; 2; 3; 1AA A A= =−=−=
и записываем
*
43
21
A
−

=

−

.
3) Находим
.
4) Проверка.
1
1 3 2 1, 5 2 3 1, 5 1, 5 1 0
2 4 1 0,5 4 4 3 2 0 1
AA E
−
− −+ −
 
⋅= ⋅ = = =
 
− −+ −
 
;
1
2 1, 5 1 3 2 3 6 6 1 0
1 0,5 2 4 1 4 3 2 0 1
AA E
−
− −+ −+
 
⋅= ⋅ = = =
 
− −−
 
.
Системы линейных уравнений
Пусть дана система из
n
линейных уравнений с
n
неизвестными
12
, ,...,
n
xx x
:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
... ,
... ,
...........................................
... .
nn
nn
n n nn n n
aõ aõ aõ b
aõ aõ aõ b
aõ a õ aõ b
+ ++ =
+ ++ =
+ ++ =
(1.3) 
            ( )
     1) det A−1 =
                              1
                           det ( A )
                                     ;

                    −1
     2) ( A ⋅ B )        =B −1 ⋅ A−1 ;

          ( ) ( )
                T               −1
     3)   A−1        = AT            .

                                      1 3
      Пример 8. Для матрицы A =              найти обратную.
                                       2  4 
      Решение. 1) Вычислим определитель матрицы
    1 3
∆=       = 4 − 6 = −2 ≠ 0 , следовательно, матрица невырожденная и можно
    2 4
найти обратную.
      2) Находим союзную матрицу. Для этого вычисляем алгебраиче-
ские дополнения элементов заданной матрицы :
                                                            4 −3 
A11 = 4; A12 = −2; A21 =    −3; A22 =1 и записываем A* =         .
                                                            −2 1 
                                 1  4 −3   −2 1,5 
     3) Находим
         =      A−1              =                 .
                                 −2  −2 1   1 −0,5 
     4) Проверка.
            1  1 3   −2 1,5   −2 + 3 1,5 − 1,5   1 0 
      A ⋅ A−=  2 4  ⋅  1 −0,5=
                                  −4 + 4         =  0 1= E;
                                       3 − 2         
             −2 1,5   1 3   −2 + 3 −6 + 6   1 0 
      A−1=
         ⋅A          ⋅2 =   1− 4       =   0 =   E.
             1  −0,5    4          3 − 2      1 

                           Системы линейных уравнений
       Пусть дана система из n линейных уравнений с n неизвестными
x1 , x2 ,..., xn :
                     a11 õ1 + a12 õ2 + ... + a1n õn =             b1 ,
                     
                     a21 õ1 + a22 õ2 + ... + a2n õn =              b2 ,
                                                                        (1.3)
                      ...........................................
                     an1 õ1 + an 2 õ2 + ... + ann õn =            bn .



                                           15

Страницы