Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

17
Равенство (1.4) называется матричным уравнением с неизвестной
матрицей
X
. Так как по условию
0∆≠
, то матрица
A
имеет обратную
1
A
−
. Умножим обе части уравнения (1.4) слева на
1
A
−
:
( )
11
A AX A B
−−
= ⋅
или
( )
11
A AX A B
−−
= ⋅
.
Но так как
1
AAE
−
=
и
, то
1
XA B
−
= ⋅
. (1.5)
Нахождение решения системы по формуле (1.5) называется мат-
ричным способом решения системы.
Матричное равенство (1.5) запишем в развёрнутом виде:
11
11 21 1
22
12 22 2
12
...
...
1
::
... ... ... ...
::
n
n
n n nn
nn
xb
AA A
xb
AA A
AA A
xb







= ⋅

∆






, то есть
11 1 21 2 1
1
2
12 1 22 2 2
11 2 2
...
...
:
...................................
:
...
nn
nn
n n nn n
n
Ab Ab Ab
x
x
Ab Ab Ab
Ab A b Ab
x
+ ++



∆


+ ++




=
∆






+ ++


∆
.
Отсюда следует, что
11 1 21 2 1
1
12 1 22 2 2
2
11 2 2
...
...
...............................................
...
nn
nn
n n nn n
n
Ab Ab Ab
x
Ab Ab Ab
x
Ab A b Ab
x
+ ++
=
∆
+ ++
=
∆
+ ++
=
∆
.
Выражение
11 1 21 2 1
...
nn
Ab Ab Ab+ ++
есть разложение определителя 
      Равенство (1.4) называется матричным уравнением с неизвестной
матрицей X . Так как по условию ∆ ≠ 0 , то матрица A имеет обратную
A−1 . Умножим обе части уравнения (1.4) слева на A−1 :
                   A−1 ( AX
                          = ) A−1 ⋅ B или      ( A−1 A)=X   A−1 ⋅ B .

     Но так как A−1 A = E и EX = X , то
                                =X A−1 ⋅ B .                 (1.5)
     Нахождение решения системы по формуле (1.5) называется мат-
ричным способом решения системы.
     Матричное равенство (1.5) запишем в развёрнутом виде:

  x1                                                             b 
 x     A11                           A21 ... An1   1 
  2 1A                               A22 ... An 2   2 
                                                                     b
= :    12                                                     ⋅  :  , то есть
   ∆  ...                             ... ... ...   
  :                                                          :
 x     A1n                           A2n             Ann   
  n                                                               bn 
                                 A11b1 + A21b2 + ... + An1bn 
                      1 
                       x                               ∆                    
                     x                                                   
                      2   A12b1 + A22b2 + ... + An 2bn 
                      : =                           ∆                    .
                        ................................... 
                      :                                                  
                      x   A1n b1 + A2n b2 + ... + Ann bn 
                      n                                                  
                                                      ∆                    
     Отсюда следует, что
                                A b + A21b2 + ... + An1bn
                        x1 = 11 1
                                                    ∆
                                 A b + A22b2 + ... + An 2bn
                        x2 = 12 1
                                                     ∆                    .
                        ...............................................
                                 A b + A2n b2 + ... + Ann bn
                        xn = 1n 1
                                                     ∆
     Выражение A11b1 + A21b2 + ... + An1bn есть разложение определителя



                                       17

Страницы