Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

19
треугольному) виду с помощью элементарных преобразований строк рас-
ширенной матрицы системы
11 12 1 1 11 12 1 1 1
21 22 2 2 22 2 2 2
12
... ...
...
... 0 ...
...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
...
... 0 0 ...
...
n kn
n kn
m m mn m kk kn k
a a ab c c c cd
a a ab c c cd
C
a a a b c cd



=



,
при этом система уравнений примет вид:
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
... ,
... ,
...........................................
.
nn
nn
kk k kn n k
cõ cõ cõ d
cõ cõ d
cõ cx d
+ ++ =
++ =
+=
На втором этапе (обратный ход) идёт последовательное нахождение
неизвестных из этой системы, начиная с последнего уравнения.
Однородные системы линейных уравнений
Рассмотрим однородную систему уравнений
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
11 2 2
... 0,
... 0,
...........................................
... 0.
nn
nn
n n nn n
aõ aõ aõ
aõ aõ aõ
aõ a õ aõ
+ ++ =
+ ++ =
+ ++ =
(1.7)
Она является частным случаем системы (1.3) при
12
... 0
n
bb b= = = =
. Очевидно, что эта система всегда имеет нулевое реше-
ние
12
... 0
n
xx x= = = =
. Это решение называют тривиальным решением
однородной системы. Но может случиться, что однородная система имеет
и не нулевое решение. Его называют нетривиальным решением .
Если главный определитель
∆
однородной системы (1.7) не равен
нулю (
0∆≠
), то эта система имеет только тривиальное решение.
В самом деле, в силу свойства определителей все определители
, поэтому в силу формул (1.6)
0
i
x =
,
1,2,...,in=
.
Для того, чтобы однородная система уравнений (1.7) имела нену-
левые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определи-
тель
∆
был равен нулю (
0∆=
). 
треугольному) виду с помощью элементарных преобразований строк рас-
ширенной матрицы системы
             a11 a12 ... a1n b1   c11 c12 ... c1k ... c1n d1 
            a     a        ...    a       b      0 c                 ... c        c    d   
                                                                                 ...
         C =  21    22              2 n     2                 22         2 k      2 n   2 ,
             ...   ... ... ... ...   ... ... ... ... ... ... ... 
                                                                                           
             am1 am 2 ... amn bm   0                           0 ... ckk ... ckn d k 
при этом система уравнений примет вид:
                      c11 õ1 + c12 õ2 + ... + c1n õn =            d1 ,
                      
                                  c22 õ2 + ... + c2n õn =          d2 ,
                      
                      ...........................................
                                          ckk õk + ckn xn =        dk .
      На втором этапе (обратный ход) идёт последовательное нахождение
неизвестных из этой системы, начиная с последнего уравнения.

                      Однородные системы линейных уравнений
      Рассмотрим однородную систему уравнений
                        a11 õ1 + a12 õ2 + ... + a1n õn =             0,
                        
                        a21 õ1 + a22 õ2 + ... + a2n õn =              0,
                                                                         (1.7)
                         ...........................................
                        an1 õ1 + an 2 õ2 + ... + ann õn =            0.
      Она является частным случаем системы (1.3)                            при
b1= b2= ...= bn= 0 . Очевидно, что эта система всегда имеет нулевое реше-
ние x1= x2= ...= xn= 0 . Это решение называют тривиальным решением
однородной системы. Но может случиться, что однородная система имеет
и не нулевое решение. Его называют нетривиальным решением .
      Если главный определитель ∆ однородной системы (1.7) не равен
нулю ( ∆ ≠ 0 ), то эта система имеет только тривиальное решение.
      В самом деле, в силу свойства определителей все определители
∆i =0 , поэтому в силу формул (1.6) xi = 0 , i = 1,2,..., n .
     Для того, чтобы однородная система уравнений (1.7) имела нену-
левые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определи-
тель ∆ был равен нулю ( ∆ =0 ).




                                               19

Страницы