Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

18
1 12 1
2 22 2
1
2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
ba a
ba a
ba a
∆=
по элементам первого столбца. Определитель
1
∆
получается из определи-
теля
∆
путём замены первого столбца коэффициентов столбцом свобод-
ных членов. Итак,
1
1
x
∆
=
∆
. Аналогично,
2
2
x
∆
=
∆
, где
2
∆
получен из
∆
путём замены второго столбца коэффициентов столбцом свободных чле-
нов, и т. д.,
n
n
x
∆
=
∆
. Следовательно,
i
i
x
=
,
1, 2,...,=in
, (1.6)
Формулы (1.6) называются формулами Крамера.
Итак, система
n
линейных уравнений с
n
неизвестными, главный
определитель которой
0∆≠
, имеет единственное решение, которое может
быть найдено матричным способом (1.5) или по формулам Крамера (1.6).
Пример 9. Решить систему уравнений
12
12
2 3 1,
35 4
xx
xx
+=
+=
.
Решение. Находим
12
23 13 21
1, 7, 5
35 45 34
∆= = ∆ = =− ∆ = =
.
Значит,
12
75
7, 5
11
xx
−
==−==
.
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений
систем линейных уравнений является метод Гаусса, состоящий в после-
довательном исключении неизвестных.
Пусть дана система уравнений
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
... ,
... ,
...........................................
... .
nn
nn
m m mn n m
aõ aõ aõ b
aõ aõ aõ b
aõ a õ aõ b
+ ++ =
+ ++ =
+ ++ =
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На пер-
вом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, 
                                  b1         a12    ... a1n
                                  b          a22    ... a2n
                              ∆1 = 2
                                  ...         ...   ... ...
                                  bn         an 2   ... ann
по элементам первого столбца. Определитель ∆1 получается из определи-
теля ∆ путём замены первого столбца коэффициентов столбцом свобод-
                         ∆                           ∆
ных членов. Итак, x1 = 1 . Аналогично, x2 = 2 , где ∆ 2 получен из ∆
                         ∆                            ∆
путём замены второго столбца коэффициентов столбцом свободных чле-
                  ∆
нов, и т. д., xn = n . Следовательно,
                   ∆
                               ∆
                           xi = i , i = 1, 2,..., n ,                     (1.6)
                                ∆
Формулы (1.6) называются формулами Крамера.
      Итак, система n линейных уравнений с n неизвестными, главный
определитель которой ∆ ≠ 0 , имеет единственное решение, которое может
быть найдено матричным способом (1.5) или по формулам Крамера (1.6).
                                                        2 x + 3 x2 =1,
      П р и м е р 9 . Решить систему уравнений  1                      .
                                                        3 x1 + 5 x2 =
                                                                     4
                                   2 3      1 3       2 1
      Р е ш е н и е . Находим=∆     = 1, =
                                         ∆1  = −7, =
                                                   ∆2  = 5.
                                   3 5      4 5       3 4
            −7             5
Значит, x1 =   = −7, x2 =     =  5.
             1             1
      Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений
систем линейных уравнений является метод Гаусса, состоящий в после-
довательном исключении неизвестных.
      Пусть дана система уравнений
                       a11 õ1 + a12 õ2 + ... + a1n õn =            b1 ,
                       
                       a21 õ1 + a22 õ2 + ... + a2n õn =             b2 ,
                       
                       ...........................................
                       am1 õ1 + am 2 õ2 + ... + amn õn =             bm .
      Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На пер-
вом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности,



                                        18

Страницы