Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

22
Проекцией вектора
a
на ось
l
называется число, обозначаемое
l
ïða
и равное
cosϕa
, где
( )
0ϕ ≤ϕ≤π
— угол между положительным
направлением оси
l
и направлением вектора
a
, т. е. по определению
. (2.1)
Геометрически проекцию
вектора можно охарактеризовать
длиной отрезка
MN
, взятой со
знаком « + », если
02≤ϕ<π
, и
со знаком «
−
», если
2π <ϕ≤π
.
(рис. 4). При
2ϕ=π
отрезок
MN
превращается в точку и
0
l
ïð =a
.
Координатами вектора
a
в декартовой системе координат называ-
ются его проекции на оси координат
,,Ox Oy Oz
. Они обозначаются соот-
ветственно буквами
{, , }xyz
. Запись
{, , }= xyza
означает, что вектор
a
имеет координаты
,,xyz
.
Для равенства векторов необходимо и достаточно, чтобы их соот-
ветствующие координаты были равны.
Если точки
1
M
и
2
M
имеют координаты
11 11
(, , )Mxyz
,
22 22
(, , )Mxyz
, то координаты вектора
12
MM

равны разности координат
начала и конца вектора, т.е.
{ }
12 2 1 2 1 2 1
;;=−−−

MM x x y y z z
. Расстояние
между двумя точками
11 11
(, , )Mxyz
и
22 22
(, , )Mxyz
находится по форму-
ле
2 22
12 2 1 2 1 2 1
( )( )( )MM x x y y z z= − +− +−
. (2.2)
Линейные операции над векторами удовлетворяют свойствам, по
форме аналогичным свойствам умножения и сложения чисел. Например,
; ( ) ; ( ) ; ( ) 0; 1+ = + α+β =α +β α + =α +α + − = ⋅ =abba a a a ab a b a a aa
и т.д.
Линейной комбинацией векторов
i
a
(
1,2,...,in=
) называется вектор
a
, определяемый по формуле
11 2 2
1
...
=
= λ =λ +λ + +λ
∑
n
ii nn
i
a aa a a
, где
i
λ
-
некоторые числа.
Если для системы
n
векторов
i
a
, линейная комбинация равна нулю
(
11 2 2
... 0λ +λ + +λ =
nn
aa a
) в случае, когда все
0
i
λ=
, то эта система
a
a
M
N
l
)ϕ
Рис. 4 
       Проекцией вектора a на ось l называется число, обозначаемое
ï ðl a и равное a cos ϕ , где ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ π ) — угол между положительным
направлением оси l и направлением вектора a , т. е. по определению
                                  ï=ðl a a cos ϕ .                 (2.1)
        Геометрически проекцию
вектора можно охарактеризовать                   a
длиной отрезка MN , взятой со
знаком « + », если 0 ≤ ϕ < π 2 , и                       a
со знаком « − », если π 2 < ϕ ≤ π .                      )ϕ                    l
(рис. 4). При ϕ = π 2 отрезок                        M        N
MN превращается в точку и
ï ðl a = 0 .                                             Рис. 4
      Координатами вектора a в декартовой системе координат называ-
ются его проекции на оси координат Ox, Oy, Oz . Они обозначаются соот-
ветственно буквами {x, y, z} . Запись a = {x, y, z} означает, что вектор a
имеет координаты x, y, z .
       Для равенства векторов необходимо и достаточно, чтобы их соот-
ветствующие координаты были равны.
       Если точки M1 и M 2 имеют координаты M1 ( x1 , y1 , z1 ) ,
                                               
M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , то координаты вектора M1M 2 равны разности координат
                                  
начала и конца вектора, т.е. M1M 2 =       { x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1} . Расстояние
между двумя точками M1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z2 ) находится по форму-
ле
                M 1M 2 =   ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2 .  (2.2)
       Линейные операции над векторами удовлетворяют свойствам, по
форме аналогичным свойствам умножения и сложения чисел. Например,
a + b = b + a; (α + β)a = αa + βa; α(a + b) = αa + αb; a + (−a) = 0; 1 ⋅ a = a
и т.д.
       Линейной комбинацией векторов ai ( i = 1,2,..., n ) называется вектор
                                        n
a , определяемый по формуле a = ∑ λiai = λ1a1 + λ 2a 2 + ... + λ na n , где λi -
                                       i =1
некоторые числа.
       Если для системы n векторов ai , линейная комбинация равна нулю
( λ1a1 + λ 2a 2 + ... + λ na n =0 ) в случае, когда все λi =0 , то эта система

                                         22

Страницы