Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

23
называется линейно независимой. Если же линейная комбинация обраща-
ется в ноль, когда хотя бы одно из
0
i
λ≠
, то система векторов
i
a
, назы-
вается линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы или три
компланарных вектора всегда линейно зависимы.
Тройка упорядоченных, линейно независимых векторов в трёхмер-
ном пространстве называется базисом. Упорядоченная тройка некомпла-
нарных векторов образует базис. Любой вектор
a
в пространстве можно
разложить по базису, т. е. представить а в виде линейной комбинации ба-
зисных векторов:
123
=α +β +γae e e
, где
,,αβγ
- являются координатами
вектора
a
в базисе
1 2, 3
,eee
. Базис называется ортонормированным, если
его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обо-
значают такой базис
и разложение вектора
a
по ортонормирован-
ному базису имеет вид
xyz=++aijk
. Модуль вектора
a
в ортонорми-
рованном базисе находится по формуле
222
xyz= ++a
, (2.3)
Условие коллинеарности двух векторов равносильно пропорцио-
нальности координат этих векторов, т.е. если вектор
111
(, , )= xyz
a
колли-
неарен вектору
222
(, , )= xyzb
, то
111
222
= =
xyz
xyz
. (2.4)
Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
Скалярным произведением двух векторов
a
и
b
называется число,
обозначаемое с = а
⋅
b и равное произведению модулей данных векторов на
косинус угла между ними:
cos( , )=ab a b a b
, (2.5)
где
(, )ab
обозначает меньший угол между векторами
a
и
b
. Отметим,
что всегда
0 (, )≤ ≤πab
.
Основные свойства скалярного произведения векторов
1) ;
2) ( ) ( ) ( );
3) ( ) ;
⋅=⋅
λ⋅=λ⋅ =⋅λ
⋅ + =⋅+⋅
ab ba
a b ab a b
a b c ab ac
2
4) ïð ïð ;
5) ;
6) 0 .
⋅= =
⋅=
⋅=⇔⊥
ab
aba bb a
aa a
ab a b
Если
111 2 2 2
( , , ), ( , , )= =xyz x y zab
, то в базисе i, j, k: 
   называется линейно независимой. Если же линейная комбинация обраща-
   ется в ноль, когда хотя бы одно из λi ≠ 0 , то система векторов ai , назы-
   вается линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы или три
   компланарных вектора всегда линейно зависимы.
         Тройка упорядоченных, линейно независимых векторов в трёхмер-
   ном пространстве называется базисом. Упорядоченная тройка некомпла-
   нарных векторов образует базис. Любой вектор a в пространстве можно
   разложить по базису, т. е. представить а в виде линейной комбинации ба-
   зисных векторов: a = αe1 + βe2 + γe3 , где α, β, γ - являются координатами
   вектора a в базисе e1 , e2, e3 . Базис называется ортонормированным, если
   его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обо-
   значают такой базис i, j, k и разложение вектора a по ортонормирован-
   ному базису имеет вид a = xi + yj + z k . Модуль вектора a в ортонорми-
   рованном базисе находится по формуле
                                 a=    x2 + y 2 + z 2 ,                    (2.3)
        Условие коллинеарности двух векторов равносильно пропорцио-
   нальности координат этих векторов, т.е. если вектор a = ( x1, y1, z1) колли-
   неарен вектору b = ( x2 , y2 , z2 ) , то
                                         x1 y1 z1
                                         = =      .                        (2.4)
                                         x2 y2 z2


             Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
        Скалярным произведением двух векторов a и b называется число,
   обозначаемое с = а ⋅ b и равное произведению модулей данных векторов на
   косинус угла между ними:
                                 ab = a b cos(a, b) ,              (2.5)
   где (a, b) обозначает меньший угол между векторами a и b . Отметим,
   что всегда 0 ≤ (a, b) ≤ π .
                   Основные свойства скалярного произведения векторов
                                               4) =
                                                  a ⋅ b a ï=  ða b b ï ðb a;
          1) a ⋅ b = b ⋅ a;
                                                            2
          2) (λa) ⋅ b =   λ (a ⋅ b) =⋅
                                     a (λb);   5) a ⋅ a =  a ;
          3) a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c;      6) a ⋅ b = 0 ⇔ a ⊥ b.
Если a (=
=       x1, y1, z1), b ( x2 , y2 , z2 ) , то в базисе i, j, k:

                                          23

Страницы