Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

29
1
( ; 0)Aa−
Рис. 10
O
1
F
2
F
x
y
1
(0; )Bb
2
(0; )Bb−
2
(0; )Aa
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний
от каждой из которых до двух задан-
ных точек, называемых фокусами,
есть величина постоянная. Обозна-
чим фокусы
1
F
и
2
F
, расстояние
между ними
2c
, а сумму расстояний
от произвольной точки эллипса до
фокусов −
2a
(рис. 9). По свойству
сторон треугольника
22ac>
, т.е.
ac>
. Для вывода уравнения эллипса
выберем систему координат так,
чтобы фокусы лежали на оси
Ox
, а
начало координат совпадало с серединой отрезка
12
FF
, тогда фокусы бу-
дут иметь координаты
1
( ; 0)Fc−
и
2
( ; 0)Fc
. Пусть
(; )Mxy
- произвольная
точка эллипса, тогда по определению
12
2MF MF a+=
, т.е.
22 22
() () 2xcy xcy a+++ −+=
. После преобразования последнего
уравнения, получим:
22
22
1
xy
ab
+=
, (3.12)
где
222
bac= −
. Уравнение (3.12) называется каноническим уравнением
эллипса.
Точки
1212
, ,,AABB
называются вершинами эллип-
са, отрезки
12 12
,AA BB
, а также
их длины
2a
и
2b
называются
соответственно большой и ма-
лой осями эллипса, числа
a
и
b
называются соответственно,
большой и малой полуосями
эллипса. Форма эллипса зави-
сит от отношения
b
a
. При
ba=
эллипс превращается в
окружность, уравнение (3.12)
принимает вид
222
xya+=
. Отношение
c
a
называется эксцентрисите-
O
1
( ; 0)Fc−
2
( ; 0)Fc
(; )Mxy
x
y
Рис. 9 
       Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний
от каждой из которых до двух задан-
                                                    y
ных точек, называемых фокусами,
есть величина постоянная. Обозна-                               M ( x; y )
чим фокусы F1 и F2 , расстояние
между ними 2c , а сумму расстояний
от произвольной точки эллипса до                                              x
фокусов − 2a (рис. 9). По свойству
сторон треугольника 2a > 2c , т.е. F1 (−c; 0)       O             F2 (c; 0)
a > c . Для вывода уравнения эллипса
выберем систему координат так,                       Рис. 9
чтобы фокусы лежали на оси Ox , а
начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2 , тогда фокусы бу-
дут иметь координаты F1 (−c; 0) и F2 (c; 0) . Пусть M ( x; y ) - произвольная
точка эллипса, тогда по определению                 MF1 + MF2 =       2a , т.е.
  ( x + c)2 + y 2 + ( x − c)2 + y 2 =
                                    2a .        После преобразования последнего
уравнения, получим:
                                    x2       y2
                                         +          =
                                                    1,                  (3.12)
                                     2          2
                                        a   b
      2    2    2
где b= a − c . Уравнение (3.12) называется каноническим уравнением
эллипса.
      Точки          A1 , A2 , B1 , B2                 y
называются вершинами эллип-
са, отрезки A1 A2 , B1B2 , а также                       B1 (0; b)
их длины 2a и 2b называются
соответственно большой и ма-
лой осями эллипса, числа a и A1 (−a; 0)                              A2 (0; a )
b называются соответственно,                       F1 O          F2             x
большой и малой полуосями
эллипса. Форма эллипса зави-
                           b                             B2 (0; − b)
сит от отношения              . При
                           a
b = a эллипс превращается в
окружность, уравнение (3.12)                          Рис. 10
                                                 c
принимает вид x 2 + y 2 =        a 2 . Отношение   называется эксцентрисите-
                                                 a



                                           29

Страницы