Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 31 стр.

                                       c
том эллипса и обозначается ε = . Очевидно, что эксцентриситет эллипса
                                       a
0 < ε < 1 , так как 0 < c < a . Эксцентриситет характеризует форму кривой.
При ε =0 эллипс превращается в окружность.
          Гиперболой называется множество точек плоскости, разность рас-
стояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фоку-
сами, есть величина постоянная. Обозначим фокусы F1 и F2 , расстояние
между ними 2c , а разность расстояний от произвольной точки гиперболы
до фокусов − 2a (рис. 9). По свойству сторон треугольника 2a < 2c , т.е.
a < c . Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат так,
чтобы фокусы лежали на оси Ox , а начало координат совпадало с середи-
ной отрезка F1F2 , тогда фокусы будут иметь координаты F1 (−c; 0) и
F2 (c; 0) . Пусть M ( x; y ) - произвольная точка гиперболы, тогда по определе-
нию             MF1 − MF2 =     2a       или        MF1 − MF2 = ±2a ,       т.е.
  ( x + c)2 + y 2 − ( x − c)2 + y 2 =
                                    ±2a . После упрощения последнего урав-
нения, получим
                                     x2      y2
                                         −   = 1,                    (3.13)
                                      a 2 b2
     2
где b=    c 2 − a 2 . Уравнение (3.13) называется каноническим уравнением
гиперболы.
      Точки A1(−à; 0) и A2 (a; 0) называются вершинами гиперболы. Отре-
зок A1 A2 , а также его длина 2a называется действительной осью гипер-
болы, отрезок B1B2 , а также его длина 2b - мнимой осью, числа a и b
называются соответственно, действительной и мнимой полуосями гипер-
болы. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным пря-
моугольником гиперболы, а его диагонали являются асимптотами гипер-
                                  b
болы, уравнения которых y = ± x .
                                  a
                                      y


                                          B1 (0; b)

                              A1                  A2          x
                        F1            O                 F2

                                          B2 (0; − b)

                                      30
                                    Рис. 11