Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

32
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат
Oxy
так, чтобы ось
Ox
проходила через фокус
F
перпендикулярно директри-
се в направлении от директрисы к фокусу, а начало координат
O
выбе-
рем посередине между фокусом и директрисой. В выбранной системе ко-
ординат фокус
F
имеет координаты
;0
2
p



, а уравнение директрисы
имеет вид
2
p
x = − (рис. 13).
Пусть
(, )Mxy
- произвольная точка параболы. Соединив точку
с
F
, проведём отрезок
MN
перпендикулярно директрисе. По определе-
нию параболы
MF MN=
. По формуле расстояния между двумя точками
находим
2
2
2
p
MF x y

=−+


и
2
2
()
2
p
MN x y y

= + +−


, следова-
тельно
22
2
22
pp
x yx
 
− += +
 
 
. Возводя обе части уравнения в
квадрат и выполнив упрощения, получаем каноническое уравнение пара-
болы:
2
2y px=
. (3.14)
Точка
(0, 0)O
называется вершиной параболы.
Уравнения
2 22
2 , 2 , 2 ( 0)y px x py x py p
=− = =−>
также опреде-
ляют параболы, графики которых изображены на рис. 14.
O
x
y
2
p
x = −
;0
2
p
F



(, )Mxy
N
Рис. 13 
      Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Oxy
так, чтобы ось Ox проходила через фокус F перпендикулярно директри-

                                y
                                    M ( x, y )
                            N


                            p                       x
                     x= −       O          p 
                            2            F  ; 0
                                           2 

                                 Рис. 13
се в направлении от директрисы к фокусу, а начало координат O выбе-
рем посередине между фокусом и директрисой. В выбранной системе ко-
                                         p 
ординат фокус F имеет координаты  ; 0  , а уравнение директрисы
                                         2 
                p
имеет вид x = − (рис. 13).
                2
      Пусть M ( x, y ) - произвольная точка параболы. Соединив точку M
с F , проведём отрезок MN перпендикулярно директрисе. По определе-
нию параболы MF = MN . По формуле расстояния между двумя точками
                        2                               2
                 p                             p
находим MF =  x −  + y 2      и MN =                          2
                                              x +  + ( y − y ) , следова-
                 2                             2
                 2                  2
               p    2       p
тельно      x −  + y =  x +  . Возводя обе части уравнения в
               2            2
квадрат и выполнив упрощения, получаем каноническое уравнение пара-
болы:
                            y 2 = 2 px .                         (3.14)
     Точка O(0, 0) называется вершиной параболы.
     Уравнения y 2 = −2 px, x 2 =
                                2 py, x 2 =
                                          −2 py ( p > 0) также опреде-
ляют параболы, графики которых изображены на рис. 14.




                                    32

Страницы