Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 36 стр.

пендикулярного плоскости. Он называется нормальным вектором плоско-
сти. Существуют различные способы задания плоскости.
       1) Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) перпендикулярно вектору n = { A, B, C} :
                  A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) =
                                                           0.                  (4.2)
      2) Уравнение плоскости в «отрезках». Если плоскость пересекает
оси координат Ox, Oy, Oz в точках M1(a, 0, 0), M 2 (0, b, 0), M 3 (0, 0, c) со-
ответственно, то её уравнение можно записать в виде:
                              x y z
                               + + =    1,                                  (4.3)
                              a b c
где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 .
       3) Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Если плос-
кость проходит через три заданные точки M1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 ) и
M 3 ( x3 , y3 , z3 ) , не лежащие на одной прямой, то её уравнение записывается
в виде:
                                x − x1   y − y1  z − z1
                               x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 =  0.                   (4.4)
                               x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
Разложив данный определитель по элементам первой строки (см. свойство
8 определителей), придём к уравнению вида (4.1).
       Величина угла ϕ между плоскостями A1x + B1 y + C1z + D1 =
                                                               0и
                        0 , находится по формуле:
A2 x + B2 y + C2 z + D2 =
                 n1 ⋅ n 2            A1 A2 + B1B2 + C1C2
        =
        cos ϕ     =                                                   .        (4.5)
                 n1 n 2      A12 + B12 + C12 ⋅      2
                                          A2 + B2 + C2     2      2

Из формулы (4.5) следует условие перпендикулярности плоскостей:
                            0 или A1 A2 + B1B2 + C1C2 =
                   n1 ⋅ n 2 =                         0.
Условие параллельности двух плоскостей имеет вид
                            A1 B1 C1 D1
                             = =         ≠     .
                            A2 B2 C2 D2
     Расстояние d от точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) до плоскости, заданной
уравнением (4.1), вычисляется по формуле
                               Ax0 + By0 + Cz0 + D
                           d=                         .
                                      2      2    2
                                   A + B +C

                                         35