Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

36
Прямая в пространстве. Прямая и плоскость.
Если две плоскости
1111
0Ax By Cz D+ + +=
и
2222
0Ax By Cz D+ + +=
не параллельны и не совпадают, то система
1111
2222
0,
0;
Ax By Cz D
Ax By Cz D
+ + +=
+ + +=
(4.6)
определяет некоторую прямую как линию пересечения двух плоскостей.
Уравнения (4.6) называются общими уравнениями прямой в пространстве.
Пусть дана точка
00 00
(, , )Mxyz
и ненулевой вектор
{ }
,,= lmns
.
Составим уравнение прямой, проходящей через точку
00 00
(, , )Mxyz
па-
раллельно вектору
s
, который называется направляющим вектором пря-
мой. Пусть точка
- произвольная точка, лежащая на прямой. То-
гда вектор
0
MM

принадлежит прямой и имеет координаты
{ }
0 0 00
;;=− −−

MM xx yyzz
. Так как вектор
{ }
,,= lmns
параллелен
прямой, то он коллинеарен вектору
{ }
0 0 00
;;=− −−

MM xx yyzz
, а из
условия коллинеарности векторов следует пропорциональность координат
этих векторов, т.е.
0 00
xx yy zz
l mn
−−−
= =
. (4.7)
Уравнения (4.7) называются каноническими уравнениями прямой.
Каждое из соотношений, входящих в канонические уравнения, при-
мем за параметр
t
, получим:
00 0
,,x x lt y y mt z z nt−= −= −=
или
x
z
{ }
,,= lmns
Рис. 17
O
y
00 00
(; ; )Mxyz
(; ; )Mxyz
                   Прямая в пространстве. Прямая и плоскость.
      Если       две    плоскости             A1 x + B1 y + C1 z + D1 =
                                                                      0                 и
A2 x + B2 y + C2 z + D2 =0 не параллельны и не совпадают, то система
                        A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
                                                                (4.6)
                        2
                         A  x + B 2 y + C2 z + D 2 = 0;
определяет некоторую прямую как линию пересечения двух плоскостей.
Уравнения (4.6) называются общими уравнениями прямой в пространстве.
                               z




                                     M ( x; y; z )


                                                     M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
                                   s = {l , m, n}
                              O                                             y



                  x                     Рис. 17

        Пусть дана точка M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и ненулевой вектор s = {l , m, n} .
Составим уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) па-
раллельно вектору s , который называется направляющим вектором пря-
мой. Пусть точка M ( x, y, z ) - произвольная точка, лежащая на прямой. То-
                     
гда вектор           M 0 M принадлежит прямой и имеет координаты

M 0M =   { x − x0 ; y − y0 ; z − z0} . Так как вектор s = {l , m, n} параллелен
                                               
прямой, то он коллинеарен вектору M 0 M =               { x − x0 ; y − y0 ; z − z0} , а из
условия коллинеарности векторов следует пропорциональность координат
этих векторов, т.е.
                                 x − x0 y − y0 z − z0
                                  = =                       .                        (4.7)
                                    l       m          n
        Уравнения (4.7) называются каноническими уравнениями прямой.
        Каждое из соотношений, входящих в канонические уравнения, при-
мем за параметр t , получим: x − x=      0 lt , y − y= 0 mt , z − z=   0 nt или


                                            36

Страницы