Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

37
0
0
0
,
,
.
x x lt
y y mt
z z nt
= +
= +
= +
(4.8)
Уравнения (4.8) называются параметрическими уравнениями пря-
мой.
Пусть прямая проходит через две заданные точки
11 11
(, , )Mxyz
и
22 22
(, , )Mxyz
. Тогда вектор
12
MM

имеет координаты
{ }
12 2 1 2 12 1
;;=− −−

MM x x y y z z
и является направляющим вектором
прямой. В силу этого, уравнение (4.7) может быть представлено в виде:
1 11
21 21 21
xx yy zz
xxyyzz
−−−
= =
−−−
. (4.9)
Полученное уравнение (4.9) называется уравнением прямой, прохо-
дящей через две точки.
Углом между двумя прямыми в пространстве называется угол между
направляющими векторами этих прямых
( )
1 1 11
,,lmn=s
и
. Поэтому
1 2 12 1 2 1 2
2 22 2 2 2
12
1 11 2 2 2
cos
ll mm nn
lmn l m n
⋅ ++
ϕ= =
+ +⋅ + +
ss
ss
.
Условие параллельности прямых совпадает с условием коллинеарно-
сти векторов
1
s
и
2
s
, следовательно, оно имеет вид:
1 11
2 22
lmn
lmn
= =
.
Условие перпендикулярности прямых есть условие перпендику-
лярности их направляющих векторов
1
s
и
2
s
, следовательно,
12 1 2 1 2
0ll mm nn+ +=
.
Рассмотрим случаи взаимного расположения прямой и плоскости.
Прямая
0 00
xx yy zz
l mn
−−−
= =
и плоскость
0Ax By Cz D+ + +=
могут
пересекаться, быть параллельными либо прямая может лежать в плоскости.
Перейдём от канонических уравнений прямой к параметрическим
(4.8) и подставим значения
,,xyz
в уравнение плоскости. Получим урав-
нение относительно неизвестного параметра
t
:
000
( ) ( )0Al Bm Cn t Ax By Cz D+ + + + + +=
. (4.10)
Возможны три случая: 
                              =x x0 + lt ,
                              
                              =y y0 + mt ,                      (4.8)
                              =
                               z z0 + nt.
       Уравнения (4.8) называются параметрическими уравнениями пря-
мой.
       Пусть прямая проходит через две заданные точки M1 ( x1 , y1 , z1 ) и
                                                 
M 2 ( x2 , y2 , z2 ) . Тогда       вектор        M 1M 2       имеет координаты

M1M 2 =    { x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1} и является направляющим вектором
прямой. В силу этого, уравнение (4.7) может быть представлено в виде:
                                  x − x1  y − y1     z − z1
                                 =        =                 .             (4.9)
                                 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
        Полученное уравнение (4.9) называется уравнением прямой, прохо-
дящей через две точки.
        Углом между двумя прямыми в пространстве называется угол между
направляющими векторами этих прямых s1 = ( l1 , m1 , n1 ) и
s 2 = ( l2 , m2 , n2 ) . Поэтому
                        s1 ⋅ s 2            l1l2 + m1m2 + n1n2
                =
                cos ϕ    =                                             .
                        s1 s 2     l12 + m12 + n12 ⋅ l22 + m22 + n22
      Условие параллельности прямых совпадает с условием коллинеарно-
                                                      l1 m1 n1
сти векторов s1 и s 2 , следовательно, оно имеет вид: =  =     .
                                                      l2 m2 n2
     Условие перпендикулярности прямых есть условие перпендику-
лярности их направляющих векторов s1 и s 2 , следовательно,
                                l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0.
       Рассмотрим случаи взаимного расположения прямой и плоскости.
           x − x0 y − y0 z − z0
Прямая =             =                и плоскость Ax + By + Cz + D =
                                                                   0 могут
              l        m       n
пересекаться, быть параллельными либо прямая может лежать в плоскости.
       Перейдём от канонических уравнений прямой к параметрическим
(4.8) и подставим значения x, y, z в уравнение плоскости. Получим урав-
нение относительно неизвестного параметра t :
                 ( Al + Bm + Cn)t + ( Ax0 + By0 + Cz0 + D) =
                                                           0.        (4.10)
       Возможны три случая:

                                       37

Страницы