Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 40 стр.

 называется действительной (вещественной) частью комплексного числа, a
 y - мнимой его частью. Для этих чисел приняты обозначения:
=x Re =  z , y Im z . Если у = 0, то
 z= x ∈ R ; если же x = 0 , то число                        у
 z = iy называется чисто мнимым. С                          y              M ( z= x + iy )
 геометрической точки зрения, вся-                                  rϕ
 кому         комплексному               числу
                                                                       х А       х
 z= x + iy          соответствует точка                     O
                                           
 M ( x; y ) плоскости (или вектор OM )                    -y               M ( z= x − iy )
 и, наоборот, всякой точке M ( x; y ) со-
 ответствует       комплексное           число                       Рис. 19
 z= x + iy . Между множествами ком-
 плексных чисел и точек плоскости Оху установлено взаимно однозначное
 соответствие, поэтому данная плоскость называется комплексной и обо-
 значается символом ( Z ).
        Множество всех комплексных чисел обозначается буквой С. Отме-
 тим, что R ∈ C . Точки, соответствующие действительным числам z = x ,
 расположены на оси Ox , которая называется действительной осью ком-
 плексной плоскости, а точки, соответствующие мнимым числам z = iy - на
 оси Oy , которую называют мнимой осью комплексной плоскости.
        Два комплексных числа равны, если соответственно равны их дей-
 ствительные и мнимые части. Числа вида z= x + iy и z= x − iy называются
 сопряженными (рис. 19).
        Если z= 1 x1 + iy1 и z=   2 x2 + iy2 — два комплексных числа, то ариф-
 метические операции над ними выполняются по следующим правилам:
        z1 + z2 =( x1 + iy1 ) + ( x2 + iy2 ) =( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 );
            z1 − z2 = ( x1 + iy1 ) − ( x2 + iy2 ) = ( x1 − x2 ) + i ( y1 − y2 );
            z1 ⋅ z2 = ( x1 + iy1 ) ⋅ ( x2 + iy2 ) = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x2 y1 + x1 y2 );
         z1 x1 + iy1 z1 ⋅ z2 x1 x2 + y1 y2   x y −x y
        =     = =                          +i 2 1 1 2.
         z2 x2 + iy2 z2 ⋅ z2   x22 + y22       x22 + y22
           Последняя операция имеет место при условии, что z2 ≠ 0 . В резуль-
     тате получаем, вообще говоря, комплексные числа. Указанные операции
     над комплексными числами обладают всеми свойствами соответ-
     ствующих операций над действительными числами, т. е. сложение и
     умножение коммутативны, ассоциативны, связаны отношением дистрибу-



                                                      39