Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 41 стр.

тивности и для них существуют обратные операции вычитания и деления
(кроме деления на нуль).
                     
      Число =   r OM= z ⋅ z называется модулем комплексного числа z .
                                         
Угол ϕ , образованный вектором OM с положительным направлением оси
Ох, называется аргументом комплексного числа и обозначается ϕ =Argz .
   Очевидно, что для всякого комплексного числа z= x + iy справед-
ливы формулы:
                                 x = r cos ϕ, y = r sin ϕ,
                                          x            y           y
            = r     x 2 + y 2 , cos= ϕ      , sin= ϕ     , tg= ϕ     , или
                                          r            r           x
                    y
             arctg    , åñëè x > 0;
                    x                                      0, åñëè x > 0, y =0;
                                                          π 2, åñëè x =
                        y                                                0, y > 0;
ϕ = arg z = π + arctg , åñëè x < 0, y > 0;            ϕ= 
                        x                                  π, åñëè x < 0, y =0;
                          y                               − π 2, åñëè=x 0, y < 0;
             −π +  arctg    , åñëè  x < 0,   y < 0;
                          x

так как главное значение аргумента ϕ =arg z удовлетворяет условию
−π < arg z ≤ π и Arg=
                    z arg z + 2πk , k ∈ Z .
      Всякое комплексное число z= x + iy может быть представлено в
тригонометрической форме =      z r (cos ϕ + i sin ϕ) или в показательной
                                                   ϕ
форме z = reiϕ (так как по формуле Эйлера ei=          cos ϕ + i sin ϕ ).
     Если z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) то спра-
ведливы формулы:
        =                                    + ϕ2 )) r1r2 ei (ϕ1 +ϕ2 ) ,
        z1 z2 r1r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 =
         z1 r1                                      r
        =       (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 −=ϕ2 )) 1 ei (ϕ1 −ϕ2 ) , ( z ≠ 0)
         z2 r2                                      r2
                      =z n r n (cos nϕ + i sin
                                           =   nϕ) r n einϕ .                 (5.1)
Формула (5.1) называется формулой Муавра.
   Для извлечения корня n -й степени (n > 1, n ∈ Z ) из комплексного числа
используется формула, дающая n значений этого корня, которые лежат в
вершинах правильного n - угольника, вписанного в окружность радиуса
R = n r с центром в начале координат:



                                        40