Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

48
д) Имеем:
1
8 2 1 4 0 1 100
1
5 11 14 2 1 3 0 1 0
39
7 8 4 3 2 2 001
−
−−


⋅= − ⋅ − = =



AA E
,
т.е. обратная матрица найдена верно.
11-20. Проверить совместность системы уравнений и в случае сов-
местности решить её:
а) по формулам Крамера,
б) матричным способом (с помощью обратной матрицы),
в) методом Гаусса.
1 23
123
12 3
5 3,
2 4 3 2,
3 3 7.
+ −=
+−=
−− =−
х хх
ххх
хх х
Р е ш е н и е.
Найдём главный определитель системы
15 1
2 4 3 14(3) 2(1)(1) 5(3)3 (1)43
313
1(3)(1) 52(3) 16 0.
−
∆= − = ⋅ ⋅− + ⋅− ⋅− + ⋅− ⋅ −− ⋅ ⋅ −
−−
−⋅− ⋅− − ⋅ ⋅− =− ≠
Так как главный определитель системы не равен нулю, то система имеет
единственное решение. Найдём решение системы по формулам Крамера
3
12
12 3
,,
∆
∆∆
= = =
∆∆∆
xx x
, где
1
35 1
2 4 3 64
713
−
∆= − =
−−−
,
2
13 1
2 2 3 16
373
−
∆= −=−
−−
,
3
15 3
2 4 2 32
317
∆= =
−−
.
Следовательно,
4, 1, 2
x xx
.
б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы за-
пишем систему уравнений в матричной форме
=AX B
. Решение системы
имеет вид
1−
= ⋅XA B
. Находим обратную матрицу
1−
A
(она существует,
так как
( ) 16 0∆ =∆=− ≠A
).
11
43
15
13
= = −
−−
A
;
21
51
16
13
−
=−=
−−
A
;
31
51
11
43
−
= = −
−
A
; 
                             −8 2     1   −4 0 1               1 0 0
                   −1    1               ⋅  2 −1=               0 1=  E,
    д) Имеем: A =  ⋅A         5  −11  14           3                    0
                        39              
                                           3 2 2
                                                                  
                                                                   0 0 1
                                                                          
                             7   8    4                              
 т.е. обратная матрица найдена верно.

      11-20. Проверить совместность системы уравнений и в случае сов-
 местности решить её:
   а) по формулам Крамера,
   б) матричным способом (с помощью обратной матрицы),
   в) методом Гаусса.
                      х1 + 5 х2 − х3 = 3,
                     
                     2 х1 + 4 х2 − 3 х3 = 2,
                     3 х − х − 3 х =
                      1 2           3 −7.

       Р е ш е н и е. Найдём главный определитель системы

     1 5 −1
 ∆ = 2 4 −3 = 1 ⋅ 4 ⋅ (−3) + 2 ⋅ (−1) ⋅ (−1) + 5 ⋅ (−3) ⋅ 3 − (−1) ⋅ 4 ⋅ 3 −
     3 −1 −3
 −1 ⋅ (−3) ⋅ (−1) − 5 ⋅ 2 ⋅ (−3) =−16 ≠ 0.
  Так как главный определитель системы не равен нулю, то система имеет
  единственное решение. Найдём решение системы по формулам Крамера
                                  ∆1       ∆2      ∆3
                     =       x1 =    , x2   = , x3    , где
                                  ∆        ∆       ∆
        3 5 −1                        1 3 −1                1 5 3
=∆1   2 = 4 −3 64 , ∆ 2 =2 2 −3 =−=     16 , ∆3 2 =  4 2 32 .
     −7 −1 −3               3 −7 −3               3 −1 −7
                    64            −16          32
 Следовательно, x1 = =   −4, x2 = =    1, x3 = =    −2 .
                    −16           −16          −16
  б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы за-
 пишем систему уравнений в матричной форме AX = B . Решение системы
 имеет вид =X A−1 ⋅ B . Находим обратную матрицу A−1 (она существует,
 так как ∆( A) = ∆ = −16 ≠ 0 ).
         4 3                      5 −1              5 −1
   A11 =         = −15 ;    A21 =
                                −       =
                                        16 ;  A31 =      = −11 ;
         −1 −3                    −1 −3             4 −3


                                            48

Страницы