Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

50
1 23
4, 1, 2=−==−x xx
.
21-30. Решить однородную систему уравнений
3 4 0,
3 5 0,
4 4 0.
+ −=
−+=
++ =
x yz
хyz
хy z
Р е ш е н и е.
Так как
34 1
1 35 0
41 4
−
−=
, то система имеет бесчисленное множество реше-
ний. Возьмём любые два уравнения системы (например, первое и второе) и
найдём её решение.
3 4 0,
3 5 0.
+ −=
−+=
x yz
хyz
4 1 3 1 34
17 , 16 , 13
35 15 1 3
−−
= = =− =−= =−
−−
x t ty t tz t t
,
где
t
- любое число.
31-40. Даны векторы
,,,


abcd
в декартовой системе координат.
Показать, что векторы
,,

abc
образуют базис. Найти координаты вектора
в этом базисе (написать разложение вектора
d
в базисе
,,

abc
).
{ 1, 7, 4}, { 1, 2,1}, {2, 0, 3}, {1,1, 1}.=−− =− = = −


d a bc
Р е ш е н и е.
Векторы
,,

abc
образуют базис, если определитель, составленный из ко-
ординат этих векторов не равен нулю. Вычислим
12 1
2 0 1 0620(3)(4)150
13 1
−
∆= = + + − −− −− = ≠
−
, следовательно, векторы
,,

abc
образуют базис. Разложение вектора
d
по базису
,,

abc
имеет вид:
=α +β +γ


d abc
, где
,,αβγ
- координаты вектора
d
в базисе
,,

abc
. Для
нахождения
,,αβγ
составим систему уравнений
2 1,
2 7,
3 4.
−α + β + γ = −
α+γ=
α+ β−γ=−
, коэф-
                          x1 =
                             −4, x2 =
                                    1, x3 =
                                          −2 .

                                                   3 x + 4 y − z =0,
                                                   
     21-30. Решить однородную систему уравнений  х − 3 y + 5 z = 0,
                                                   4 х + y + 4 z =
                                                                  0.
     Р е ш е н и е.
         3 4 −1
Так как 1 −3 5 =     0 , то система имеет бесчисленное множество реше-
         4 1 4
ний. Возьмём любые два уравнения системы (например, первое и второе) и
найдём её решение.
                           3 x + 4 y − z =0,
                           
                            х − 3 y + 5z =
                                          0.
             4 −1              3 −1           3 4
         x= t=       17t , y =
                             −      t=
                                     −16t , z =t = −13t ,
            −3 5               1 5            1 −3
где t - любое число.

                                   
      31-40.   Даны векторы a , b , c , d в декартовой системе координат.
                           
Показать, что векторы a , b , c образуют базис. Найти координаты вектора
                                                           
d в этом базисе (написать разложение вектора d в базисе a , b , c ).
                                                    
           d= {−1,7, − 4}, a = {−1,2,1}, b =  {2,0,3}, c =
                                                         {1,1, −1}.
         Р е ш е н и е.
                
Векторы a , b , c образуют базис, если определитель, составленный из ко-
ординат          этих   векторов      не    равен      нулю.        Вычислим
       −1 2 1
∆ = 2 0 1 = 0 + 6 + 2 − 0 − (−3) − (−4) = 15 ≠ 0 , следовательно, векторы
        1 3 −1
                                                        
a , b , c образуют базис. Разложение вектора d по базису a , b , c имеет вид:
                                                                
d = αa + βb + γc , где α, β, γ - координаты вектора d в базисе a , b , c . Для
                                                   −α + 2β + γ = −1,
                                                   
нахождения α, β, γ составим систему уравнений 2α + γ =7,              , коэф-
                                                   α + 3β − γ = −4.
                                                   

                                     50

Страницы