Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

54
ём пирамиды; 6) уравнение прямой А
1
А
2
; 7) уравнение плоскости А
1
А
2
А
3
;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А
4
на грань А
1
А
2
А
3
.
Р е ш е н и е.
1) Воспользуемся формулой нахождения расстояния между двумя
точками:
2 22
21 21 21
( )( )( )= − +− +−d xx yy zz
, где
1 11 2 2 2
( , , ), ( , , )xyz x y z
- координаты этих точек. Следовательно, длина ре-
бра А
1
А
2
равна
2 22
12
( 1 4) (13 7) (0 8) 25 36 64 125 5 5=−−+−+−= ++= =AA
2) Угол между рёбрами А
1
А
2
и А
1
А
3
равен углу между направляю-
щими векторами
12
{ 1 4; 13 7; 0 8} { 5; 6; 8}=−− − − =− −

AA
и
13
{2 4; 4 7; 9 8} { 2; 3;1}= − − − =−−

AA
.
12 13
2 2 2 2 22
12 13
()
(5)(2) 6(3) (8)1
cos
(5) 6 (8) (2) (3) 1
16
0,38.
125 14
⋅
− ⋅− + ⋅− +− ⋅
ϕ= = =
⋅
− + +− ⋅ − +− +
−
= ≈−
⋅
 
 
AA AA
AA AA
Следовательно,
arccos( 0,38) 112 .ϕ= − ≈
3) Для нахождения угла между ребром А
1
А
4
и гранью А
1
А
2
А
3
надо
найти нормальный вектор грани А
1
А
2
А
3
, который равен векторному про-
изведению векторов
12

AA
и
, т.е.
12 13
6 8 5 8 56
56 8
31 21 2 3
2 31
18 21 27 { 18; 21; 27}.
− −− −
= × =− −= − + =
− − −−
−−
=−+ + =−
 
n AA AA
i jk
ijk
ijk
14
{1 4; 8 7; 9 8} { 3;1;1}=− − −=−

AA
.
Синус угла между ребром А
1
А
4
и гранью А
1
А
2
А
3
найдём по формуле
14
222 2 2 2
11
( 3) ( 18) 1 21 1 27
sin
( 3) 1 1 ( 18) 21 27
102
0,8.
11 3 166
⋅
− ⋅− +⋅ +⋅
φ= = =
⋅
− ++ ⋅− + +
= ≈
⋅


AA n
AA n
   ём пирамиды; 6) уравнение прямой А 1 А 2 ; 7) уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 ;
   8) уравнение высоты, опущенной из вершины А 4 на грань А 1 А 2 А 3 .

         Р е ш е н и е.
   1)     Воспользуемся формулой нахождения расстояния между двумя
   точками: d = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2 , где
   ( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z2 ) - координаты этих точек. Следовательно, длина ре-
   бра А 1 А 2 равна
 A1 A2 = (−1 − 4)2 + (13 − 7)2 + (0 − 8) 2 = 25 + 36 + 64 = 125 =5 5
2)      Угол между    рёбрами
                          А 1 А 2 и А 1 А 3 равен углу между направляю-
щими векторами A1 A2 = {−1 − 4; 13 − 7; 0 − 8} = {−5; 6; − 8} и

A1 A3 ={2 − 4; 4 − 7; 9 − 8} ={−2; − 3;1} .
             
           ( A1 A2 ⋅ A1 A3 )         (−5) ⋅ (−2) + 6 ⋅ (−3) + (−8) ⋅ 1
=    cos ϕ 
             =                                          =
            A1 A2 ⋅ A1 A3      (−5) + 6 + (−8) ⋅ (−2) + (−3) 2 + 12
                                    2     2         2        2

             −16
=                   ≈ −0,38.
           125 ⋅ 14
   Следовательно,
              =   ϕ arccos(−0,38) ≈ 112.

   3)     Для нахождения угла между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 надо
   найти нормальный вектор    грани А
                          1 А 2 А 3 , который равен векторному про-
   изведению векторов A1 A2 и A1 A3 , т.е.
                      i   j k
                        6 −8           −5 −8     −5 6
   n =A1 A2 × A1 A3 =−5 6 −8 =i                 −j        +k         =
                                     −3 1           −2 1      −2 −3
                     −2 −3 1
  = −18i + 21j + 27k =  {−18; 21; 27}.
  
  A1 A4 ={1 − 4; 8 − 7; 9 − 8} =−
                                { 3;1;1} .
  Синус угла между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 найдём по формуле
              
             A1 A4 ⋅ n            (−3) ⋅ (−18) + 1 ⋅ 21 + 1 ⋅ 27
  =   sin φ 
              =                                               =
             A1 A1 ⋅ n      (−3) + 1 + 1 ⋅ (−18) + 212 + 27 2
                                2    2     2           2

            102
=                    ≈ 0,8.
          11 ⋅ 3 166



                                            54

Страницы