Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 56 стр.

      Следовательно, угол между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 равен
=φ arcsin
       =     0,8 52 .
 4)       Площадь грани А 1 А 2 А 3 равна
                            1   1                3
              S A1 A2 A3 = A1 A2 × A1 A3 = {−18; 21; 27} = 166 ≈ 19,3 .
                            2                2               2
 5)       Объём пирамиды равен
                                       −5 6 −8
              
                              
 V=
      1
      6
            (                 )
          A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 =
                                    1
                                    6
                                       −2 −3 1 =
                                                    1
                                                    6
                                                       15 + 16 − 18 + 72 + 5 + 12 = 17.
                                       −3 1 1
 6) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки
   x − x1      y − y1       z − z1
  =           =                     . Тогда уравнение прямой А 1 А 2 можно записать
  x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
             x−4         y −7 z −8            x −4 y −7 z −8
 в виде = =                             или = =                   .
            −1 − 4 13 − 7 0 − 8                −5    6       −8

      7) Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки
      (4.4). Тогда уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 запишется в виде
        x −4 y −7 z −8
                                          6 −8               −5 −8             −5 6
       −1 − 4 13 − 7 0 − 8 = 0 ⇒ ( x − 4)         − ( y − 7)        + ( z − 8)       = 0
                                          −3 1               −2 1              −2 −3
       2−4 4−7 9−8
      или после преобразований, получим 6 x − 7 y − 9 z + 97 =   0.

      8) Уравнение высоты A4 H , опущенной из вершины А 4 на грань А 1 А 2 А 3
      получим исходя из условия перпендикулярности прямой A4 H и плоскости
      А 1 А 2 А 3 . В качестве направляющего вектора прямой можно взять нормаль-
                       
      ный вектор n = {6; −7; −9} плоскости А 1 А 2 А 3 . И тогда уравнение высоты
                             x −1 y − 8 z − 9
      запишется в виде = =                    .
                               6     −7   −9

           61-70. Привести уравнение к каноническому виду, определить тип
      кривой и построить её.

            П р и м е р 1 . 4 x 2 + 9 y 2 + 32 x − 54 y + 109 =
                                                              0.




                                              55