Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

56
Решение. Выделим полные квадраты относительно переменных
x
и
y
:
22
4( 8 16 16) 9( 6 9 9) 109 0+ + − + − +− + =xx yy
. Преобразуем
уравнение
2 2 22
4( 8 16) 64 9( 6 9) 81 109 0 4( 4) 9( 3) 36++ −+ −+−+ =⇒ + + − =xx yy x y
Разделим последнее уравнение на 36 и приведём его к каноническому ви-
ду
22
( 4) ( 3)
1
94
+−
+=
xy
.
Это уравнение эллипса, центр
которого лежит в точке С(-4; 3),
большая полуось
3=a
, малая
полуось
2=b
(рис. 20).
Пример 2.
22
6 12 24 0− −− =xy xy
.
Решение. Выделим полные квадраты по переменным
x
и
y
.
Получим
.
Разделим последнее уравнение на 12 и приведём к каноническому виду
22
( 6) ( 2)
1
12 2
−+
−=
xy
. Это уравнение гиперболы, центр которой лежит в
точке С(6; -2), действительная полуось
12=a
, мнимая полуось
2=b
.
Вершины гиперболы
1
(6 12; 2)−−A
и
2
(6 12; 2)+−A
(рис. 21).
х
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
у
7
6
5
4
3
2
1
0
-2
-3
С
Рис. 20
3
2
1
-2
-3
х
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
у
С
А
1
А
2
Рис. 21 
       Р е ш е н и е . Выделим полные квадраты относительно переменных
x и y:         4( x 2 + 8 x + 16 − 16) + 9( y 2 − 6 y + 9 − 9) + 109 =0.         Преобразуем
уравнение
4( x 2 + 8 x + 16) − 64 + 9( y 2 − 6 y + 9) − 81 + 109 =0 ⇒ 4( x + 4) 2 + 9( y − 3) 2 =36
Разделим последнее уравнение на 36 и приведём его к каноническому ви-
    ( x + 4)2 ( y − 3)2                                                  у
ду           +          =1.
         9        4                                                 7
Это уравнение эллипса, центр                                        6
которого лежит в точке С(-4; 3),                                    5
большая полуось a = 3 , малая                                       4
полуось b = 2 (рис. 20).                                            3
                                                      С             2
                                                                    1
                                                                    0
                                                      -4 -3 -2 -1   1 2 3 4 5 6 7         х
                                                                    -2
                                                                    -3       Рис. 20


       П р и м е р 2.   x 2 − 6 y 2 − 12 x − 24 y =
                                                  0.

     Р е ш е н и е . Выделим полные квадраты по переменным x и y .
Получим
( x 2 − 12 x + 36) − 36 − 6( y 2 + 4 y + 4) + 24 =⇒
                                                  0 ( x − 6)2 − 6( y + 2)2 =
                                                                           12 .
Разделим последнее уравнение на 12 и приведём к каноническому виду
( x − 6)2 ( y + 2)2
         −          =1 . Это уравнение гиперболы, центр которой лежит в
    12         2
точке С(6; -2), действительная полуось a = 12 , мнимая полуось b = 2 .
Вершины гиперболы                         у
A1 (6 − 12; − 2) и
                                                 3
A2 (6 + 12; − 2) (рис. 21).
                                                 2
                                                 1
                                        -4 -3 -2 -1   1 2 3 4 5 6 7          х
                                                 -2
                                                            А1       С       А2
                                                 -3



                                                      Рис. 21

                                            56

Страницы