Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

58
Построив найденные точки М
i
,(
,ρϕ
ii
) в полярной системе координат
и соединив их плавной линией, получим достаточно точное представление о
кардиоиде (рис. 23).
81-90. Дано комплексное число
4
1
=
−+
a
i
. Требуется: 1) записать чис-
ло
a
в алгебраической и тригонометрической форме; 2) найти все корни
уравнения
32
=za
.
Решение.
1) Представим число в алгебраической форме, для чего числитель и
знаменатель умножим на сопряжённое знаменателю комплексное число:
4 4( 1 ) 4( 1 )
22
1 (1 )(1 ) 2
−− −−
= = = =−−
−+ −+ −−
ii
ai
i ii
.
Получили комплексное число в алгебраической форме, у которого
Re 2, Im 2= =−= =−xa ya
.
Найдём модуль и аргумент этого числа
Откуда следует, что
3
4
π
ϕ=−
и тригонометрическая форма числа имеет вид:
4
8
6
6,8
7,6
0
Рис. 23 
                                                    4
                                        0
                                                        6


                                                        6,8


                                                 7,6
                                            8

                                     Рис. 23
      Построив найденные точки М i ,( ρi , ϕi ) в полярной системе координат
и соединив их плавной линией, получим достаточно точное представление о
кардиоиде (рис. 23).


                                       4
     81-90. Дано комплексное число a =      . Требуется: 1) записать чис-
                                     −1 + i
ло a в алгебраической и тригонометрической форме; 2) найти все корни
уравнения z 3 = a 2 .
     Решение.
1)    Представим число в алгебраической форме, для чего числитель и
знаменатель умножим на сопряжённое знаменателю комплексное число:
                   4       4(−1 − i )       4(−1 − i )
               a=      =                   =           =−2 − 2i .
                 −1 + i (−1 + i )(−1 − i )     2
   Получили комплексное число в алгебраической форме, у которого
x=
 Re a =
      −2, y =Im a =
                  −2 .
     Найдём модуль и аргумент этого числа
                                             x     2          y     2
r = x 2 + y 2 = (−2)2 + (−2) 2 = 2 2, cos ϕ = = −    , sin ϕ = = −    ,
                                             r    2           r    2
                            3π
Откуда следует, что ϕ = −      и тригонометрическая форма числа имеет вид:
                             4

                                      58

Страницы