Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

60
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 6.
Числовая последовательность и её предел
Если каждому натуральному числу
n
поставлено в соответствие
число
n
x
, то говорят, что задана числовая последовательность
12
, , ..., ,... { }
nn
xx x x=
.
Общий член
n
x
последовательности является функцией от
n
, т.е.
()
n
x fn=
. Задать последовательность можно по разному – главное, чтобы
был указан способ получения любого члена последовательности.
Например,
( )
{ } { 1 } è ë è { } 1; 1; 1; 1; ...
n
nn
xx=− =−−
;
Последовательность
{}
n
x
называется ограниченной, если существует
такое число
0M >
, что для любого
n
верно неравенство:
n
xM<
, т.е. все
члены последовательности принадлежат промежутку
( ;)MM−
.
Определение 1. Последовательность
n
x
при
n →∞
имеет своим
пределом конечное число a, если для любого как угодно малого ε (ε>0)
существует такое число N(ε), зависящее от ε, что при всех
()>εnN
вы-
полняется условие
n
xa− <ε
.
Определение 2. Последовательность
n
x
при
n →∞
имеет своим
пределом
+∞
, если для любого, как угодно большого положительного
числа М, существует такое положительное число N(M), что
n
xM>
при
всех
()n NM≥
.
Определение 3. Последовательность
n
x
при
n →∞
имеет своим
пределом
−∞
, если для любого, как угодно большого положительного
числа М, существует такое положительное число N(M), что
n
xM<−
при
всех
()n NM≥
.
Лемма 1. Если последовательности
n
x
и
n
y
при
n →∞
имеют ко-
нечные пределы
α
и
β
, то
lim ( )
nn
n
xy
→∞
± =α±β
.
Лемма 2. Если последовательности
n
x
и
n
y
при
n →∞
имеют ко-
нечные пределы
α
и
β
, то
lim ( )
nn
n
xy
→∞
⋅ =α⋅β
. 
     Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 6.


                           Числовая последовательность и её предел
        Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие
число xn , то говорят, что задана числовая последовательность
x1 , x2 , ..., xn ,... = {xn } .
      Общий член xn последовательности является функцией от n , т.е.
xn = f (n) . Задать последовательность можно по разному – главное, чтобы
был указан способ получения любого члена последовательности.
                        {( −1) } èëè {xn } =
                                n
      Например, {xn } =                       −1;1; − 1;1;... ;
           nπ
{x=
  n } {sin    }, èëè {x= n } 1; 0; − 1; 0;...
            2
      Последовательность {xn } называется ограниченной, если существует
такое число M > 0 , что для любого n верно неравенство: xn < M , т.е. все
члены последовательности принадлежат промежутку (− M ; M ) .
     Определение 1. Последовательность xn при n → ∞ имеет своим
пределом конечное число a, если для любого как угодно малого ε (ε>0)
существует такое число N(ε), зависящее от ε, что при всех n > N (ε) вы-
полняется условие xn − a < ε .
       Определение 2. Последовательность xn при n → ∞ имеет своим
пределом +∞ , если для любого, как угодно большого положительного
числа М, существует такое положительное число N(M), что xn > M при
всех n ≥ N ( M ) .
       Определение 3. Последовательность xn при n → ∞ имеет своим
пределом −∞ , если для любого, как угодно большого положительного
числа М, существует такое положительное число N(M), что xn < − M при
всех n ≥ N ( M ) .
     Лемма 1. Если последовательности xn и yn при n → ∞ имеют ко-
нечные пределы α и β , то lim ( xn ± yn ) = α ± β .
                              n →∞
     Лемма 2. Если последовательности xn и yn при n → ∞ имеют ко-
нечные пределы α и β , то lim ( xn ⋅ yn ) = α ⋅ β .
                              n →∞




                                         60

Страницы