Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

61
Лемма 3. Если последовательности
n
x
и
n
y
при
n →∞
имеют ко-
нечные пределы
α
и
β
, причём,
0β≠
, то
lim
n
n
n
x
y
→∞
α
=
β
.
Определение. Если
для всех
n
, то последовательность
возрастающая.
Если
1nn
xx
+
≥
для всех
n
, то последовательность неубывающая.
Если
1nn
xx
+
<
для всех
n
, то последовательность убывающая.
Если
1nn
xx
+
≤
для всех
n
, то последовательность невозрастающая.
Все эти последовательности называются монотонными. Возраста-
ющие и убывающие последовательности называются строго монотонны-
ми.
Например,
1
{}
n
x
n

=


– убывающая и ограниченная;
{ } {}
n
xn=
–
возрастающая и неограниченная.
Лемма 4. Если последовательность
n
x
при
n →∞
монотонно воз-
растает и все члены последовательности ограничены сверху одним и тем
же числом
( ),
n
xM≤
то последовательность
n
x
имеет предел.
Лемма 5. Если последовательности
n
x
при
n →∞
монотонно убы-
вает и все члены последовательности ограничены снизу одним и тем же
числом
( , 1,2,...),
n
mm x n≤=
то последовательность
n
x
имеет предел.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет
предел.
Последовательность
1
1
n
n



+





- монотонно возрастающая и ограни-
ченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозна-
чать буквой е.
1
lim 1
n
n
e
n
→∞

+=


Можно показать, что число
e
иррациональное и его значение равно
2,71828… Число
e
является основанием натурального логарифма.
log ln , ò.å. .
y
e
x xy e x= = =
Предел функции 
     Лемма 3. Если последовательности xn и yn при n → ∞ имеют ко-
                                               x  α
нечные пределы α и β , причём, β ≠ 0 , то lim n = .
                                          n →∞ yn β
      Определение. Если xn +1 > xn для всех n , то последовательность
возрастающая.
     Если xn +1 ≥ xn для всех n , то последовательность неубывающая.
     Если xn +1 < xn для всех n , то последовательность убывающая.
     Если xn +1 ≤ xn для всех n , то последовательность невозрастающая.
      Все эти последовательности называются монотонными. Возраста-
ющие и убывающие последовательности называются строго монотонны-
ми.
                         1 
      Например, {xn } =   – убывающая и ограниченная; {xn } = {n} –
                         n
возрастающая и неограниченная.
      Лемма 4. Если последовательность xn при n → ∞ монотонно воз-
растает и все члены последовательности ограничены сверху одним и тем
же числом ( xn ≤ M ), то последовательность xn имеет предел.
     Лемма 5. Если последовательности xn при n → ∞ монотонно убы-
вает и все члены последовательности ограничены снизу одним и тем же
числом m (m ≤ xn , n =
                     1,2,...), то последовательность xn имеет предел.
     Теорема.   Монотонная ограниченная последовательность имеет
предел.
                             1  
                                   n
      Последовательность 1 +   - монотонно возрастающая и ограни-
                             n 
                                     
ченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозна-
чать буквой е.
                                          n
                                      1
                               lim 1 +  =e
                              n →∞    n
      Можно показать, что число e иррациональное и его значение равно
2,71828… Число e является основанием натурального логарифма.
                        log e=
                             x ln=         e y x.
                                 x y, ò.å. =

                              Предел функции

                                  61

Страницы