Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

62
После определения предела последовательности, введем определе-
ние предела функции.
Пусть функция
()fx
определена в некоторой окрестности точки
xa=
(т.е. в самой точке
xa=
функция может быть и не определена)
Определение. Число А называется пределом функции
()fx
при
стремлении
x
к
a
(или в точке
a
), если для любого положительного
числа
0ε>
найдется число
(
0δ>
) такое, что
()fx A− <ε
как
только
xa− <δ
.
Обозначают этот факт так:
lim ( )
xa
fx A
→
=
или
()fx A→
при
xa→
(рис. 25).
Определение. Число А называется пределом функции
()fx
слева
при
→xa
, если для любого положительного числа
0ε>
найдется число
(
0δ>
) такое, что неравенство
()fx A− <ε
выполняется при
0−δ<−<xa
(т.е. при
xa<
). Этот предел обозначается
0
lim ( ) ( 0)
→−
= −=
xa
fx fa A
.
Аналогично определяется предел функции справа.
Определение. Число В называется пределом функции
()fx
справа
при
→xa
, если для любого положительного числа
0ε>
найдется число
(
0δ>
) такое, что неравенство
()fx A− <ε
выполняется при
0 <−<δxa
(т.е. при
>xa
). Этот предел обозначается
0
lim ( ) ( 0)
→+
= +=
xa
fx fa B
(рис. 26).
Пределы
A
и
B
называются также односторонними пределами
функции
()fx
в точке
xa=
. Для существования предела функции
()fx
в
()y fx=
y
x
O
A
A −ε
A +ε
a
a −δ
a +δ
Рис. 25 
      После определения предела последовательности, введем определе-
ние предела функции.
      Пусть функция f ( x) определена в некоторой окрестности точки
x = a (т.е. в самой точке x = a функция может быть и не определена)
      Определение. Число А называется пределом функции f ( x) при
стремлении x к a (или в точке a ), если для любого положительного
числа ε > 0 найдется число δ = δ(ε) ( δ > 0 ) такое, что f ( x) − A < ε как
только x − a < δ .
       Обозначают этот факт так: lim f ( x) = A или f ( x) → A при x → a
                                  x→a
(рис. 25).
                           y
                                                    y = f ( x)
                         A+ε
                          A
                        A−ε


                                         a−δ       a+δ x
                          O                    a

                                 Рис. 25

      Определение. Число А называется пределом функции f ( x) слева
при x → a , если для любого положительного числа ε > 0 найдется число
δ = δ(ε) ( δ > 0 ) такое, что неравенство f ( x) − A < ε выполняется при
−δ < x − a < 0 (т.е. при         x < a ).  Этот предел обозначается
  lim f ( x)= f (a − 0)= A .
x →a −0
      Аналогично определяется предел функции справа.
      Определение. Число В называется пределом функции f ( x) справа
при x → a , если для любого положительного числа ε > 0 найдется число
δ = δ(ε) ( δ > 0 ) такое, что неравенство f ( x) − A < ε выполняется при
0 < x − a < δ (т.е. при          x > a ).  Этот предел обозначается
  lim f ( x)= f (a + 0)= B (рис. 26).
x →a + 0
      Пределы A и B называются также односторонними пределами
функции f ( x) в точке x = a . Для существования предела функции f ( x) в

                                    62

Страницы