Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 66 стр.

      Теорема 3. lim [ f ( x) ⋅ g ( x=
                                     )]   lim f ( x) ⋅ lim g ( x)
                     x→a                  x→a         x→a
      Следствие. lim C ⋅ f ( x) =⋅
                                C lim f ( x)
                     x→a                  x→a
                                lim f ( x)
                       f ( x) x → a
      Теорема 4. lim          =                 при lim g ( x) ≠ 0
                 x → a g ( x)   lim g ( x)           x→a
                                  x→a
      Теорема 5. Если         f ( x) > 0 вблизи точки x = a и lim f ( x) = A , то
                                                                     x→a
A > 0.
        Аналогично             определяется          знак           предела   при
f ( x) < 0, f ( x) ≥ 0,   f ( x) ≤ 0 .
     Теорема 6. Если g ( x) < f ( x) < z ( x) в окрестности точки x = a и
 =
lim        =
    g ( x) lim z ( x) A , то и lim f ( x) = A .
x→a          x→a                  x→a
      Определение. Функция f ( x) называется ограниченной в окрестно-
сти точки x = a , если существует такое число M > 0 , что f ( x) < M в
окрестности точки x = a
      Теорема 7. Если функция f ( x) имеет конечный предел при x → a ,
то она ограничена в окрестности точки x = a .

                            Бесконечно малые функции
     Определение. Функция f ( x) называется бесконечно малой при
x → a , если lim f ( x) = 0 , где a - число или ∞ ( под ∞ подразумеваем ли-
               x→a
бо +∞, либо −∞ ).
                     Свойства бесконечно малых функций:
   1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при x → a
также бесконечно малая функция при x → a .
   2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций
при x → a также бесконечно малая функция при x → a .
   3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограничен-
ную в окрестности точки x = a является бесконечно малой функцией при
x→a.
   4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел
которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.



                                          65