Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 67 стр.

     Определение. Функция f ( x) называется бесконечно большой при
x → a , (где a - число или ∞), если lim f ( x) = ∞ .
                                     x →a
      Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществ-
ляется в соответствии со следующей теоремой.
      Теорема. Если f ( x) при x → a есть бесконечно малая, то функция
           1
g ( x) =        - бесконечно большая, и наоборот, если g ( x) - бесконечно
         f ( x)
                                             1
большая функция при x → a , то f ( x) =           - функция бесконечно малая.
                                           g ( x)
                                                     1
Другими словами, если lim f ( x) = 0 , то lim            = ∞ и наоборот, если
                             x→a             x →a f ( x)
                             1
 lim f ( x) = ∞ , то lim          = 0.
x →a                  x →a f ( x)

                    Сравнение бесконечно малых функций
      Пусть α(х), β(х) и γ(х) – бесконечно малые функции при x → a . Бу-
дем обозначать эти функции α, β и γ соответственно. Эти бесконечно ма-
лые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте
их стремления к нулю.
     Например, функция              x10 стремится к нулю быстрее, чем
                              α( x) =
функция β( x) =
              x.
                             α
       Определение. Если lim    = 0 , то функция α называется бесконечно
                         x→a β
малой более высокого порядка, чем функция β и обозначается α= O(β) .
                               α
       Определение. Если lim     = A, A ≠ 0, A = const , то α и β называ-
                          x→a β
ются бесконечно малыми одного порядка.
                               α
       Определение. Если lim = 1, то функции α и β называются эквива-
                          x→a β
лентными бесконечно малыми. Записывают α ~ β.
       Определение. Бесконечно малая функция α называется бесконечно
малой порядка k относительно бесконечно малой функции β, если предел
      α
 lim     конечен и отличен от нуля.
x → a βk

                                     66