Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

68
0
0
0,
()
lim ,
()
,
x
ï ðè n m
a
Px
ï ðè n m
Qx b
ï ðè n m
→∞
<
= =
∞>
.
4) Кроме приведённых выше пределов можно записать следующие
полезные на практике эквивалентности при
0x →
:
sin kx kx
;
tgkx kx
;
arcsin kx kx
;
arctg kx kx
;
2
1 cos
2
x
x−
;
;
ln(1 )xx+
;
(1 ) 1 , 0
k
x kx k+− >
.
Пример 1. Найти предел
1
62
lim
23
→
+
+
x
x
x
.
Очевидно,
11
lim (6 2) 8, lim (2 3) 5.
xx
xx
→→
+= +=
По теореме о пределе частного
1
6 28
lim .
2 35
→
+
=
+
x
x
x
Пример 2. Найти предел
2
2
3
9
lim .
3
x
x
xx
→
−
−
Очевидно,
22
33
lim ( 9) 0, lim ( 3 ) 0.
xx
x xx
→→
−= − =
Так как предел знаменателя равен 0, то теорема о пределе частного не-
применима. Разложим числитель и знаменатель на множители
22
9 ( 3)( 3), 3 ( 3),x x x x x xx−= − + − = −
Тогда
2
2
9 ( 3)( 3) 3
.
( 3)
3
x xx x
xx x
xx
− −+ +
= =
−
−
Следовательно,
2
2
33
93
lim lim 2.
3
xx
xx
x
xx
→→
−+
= =
−
Пример 3. Найти предел
3
4
21
lim .
2
x
xx
x
→∞
++
+
Здесь числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Поэтому
теорема о пределе частного неприменима. Разделим числитель и знамена-
тель на
4
x
. С учётом того, что при
x →∞
2
1
0,
x
→
3
1
0
x
→
, получим 
                                  0, ï ðè n < m
                                  
                            P( x)  a0
                  =    lim        =   , ï ðè n m .
                      x →∞ Q ( x)  b0
                                  ∞, ï ðè n > m
      4) Кроме приведённых выше пределов можно записать следующие
полезные на практике эквивалентности при x → 0 :
   sin kx  kx ;   tg kx  kx ;     arcsin kx  kx ; arctg kx  kx ;
            x2
1 − cos x     ;    ekx − 1  kx ;           ln(1 + x)  x ;   (1 + x)k − 1  kx, k > 0 .
            2
                                         6x + 2
      Пример 1. Найти предел lim                .
                                   x →1 2 x + 3
Очевидно, lim (6
              =  x + 2) 8,          =
                                lim (2 x + 3) 5.
            x →1                x →1
                                            6x + 2 8
По теореме о пределе частного lim                  = .
                                       x →1 2 x + 3 5

                                             x2 − 9
      Пример 2. Найти предел lim                      .
                                      x →3 x 2 − 3x

              ( x 2 − 9) 0,
Очевидно, lim =                            2
                                     lim ( =
                                           x − 3 x) 0.
             x →3                    x →3
Так как предел знаменателя равен 0, то теорема о пределе частного не-
применима. Разложим числитель и знаменатель на множители
                      x 2 − 9 = ( x − 3)( x + 3), x 2 − 3 x = x( x − 3),
       x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3) x + 3
   = =
Тогда                                 .
      x 2 − 3x     x( x − 3)      x
                          x2 − 9      x+3
Следовательно,      lim= lim       = 2.
                    x →3 x 2 − 3x x →3 x

                                             x3 + 2 x + 1
      Пример 3. Найти предел lim               .
                                       x4 + 2
                                      x →∞
      Здесь числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Поэтому
теорема о пределе частного неприменима. Разделим числитель и знамена-
                                               1       1
тель на x 4 . С учётом того, что при x → ∞        → 0,     → 0 , получим
                                                2        3
                                              x        x

                                             68

Страницы