Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 71 стр.

     Другими словами, функция f ( x) непрерывна в точке x0 , если бес-
конечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует беско-
нечно малое приращение функции, т.е. lim ∆f ( x) =
                                                 0.
                                             ∆x →0


                       Свойства непрерывных функций
      1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке x0 функ-
ций – есть функция, непрерывная в точке x0 .
                                                f ( x)
     2) Частное двух непрерывных функций               – есть непрерывная
                                                g ( x)
функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке x0 .
     3) Если
         =   u f=( x), y g (u ) – непрерывные функции в точке x0 , то
сложная функция y = g ( f ( x)) – тоже непрерывна в этой точке.

                     Точки разрыва и их классификация
      Рассмотрим некоторую функцию f ( x) , непрерывную в окрестности
точки x0 , за исключением может быть самой этой точки. Из определения
точки разрыва функции следует, что x = x0 является точкой разрыва, если
функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.
      Определение. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва,
если в этой точке функция f ( x) имеет конечные, равные друг другу левый
и правый пределы, но функция в этой точке не определена, т.е.
                       =lim f ( x)     lim f ( x) ≠ f ( x0 ) .
                      x → x0 + 0        x → x0 − 0
      Определение. Точка x0 называется точкой разрыва 1- го рода, если
в этой точке функция f ( x) имеет конечные, но не равные друг другу ле-
вый и правый пределы, т.е.
                            lim f ( x) ≠ lim f ( x) .
                           x → x0 + 0         x → x0 − 0
     Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 - го ро-
да функция имеет только конечный скачок (рис. 29).
     Определение. Точка x0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если
в этой точке функция f ( x) не имеет хотя бы одного из односторонних
пределов или хотя бы один из них бесконечен.



                                        70