Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 72 стр.

                                     1
Например, функция f ( x) =               имеет в точке x0 = 0 точку разрыва 2 – го
                                     õ
рода, т.к.       lim    f ( x) = +∞;   lim f ( x) = −∞ (рис. 30).
             x →0 + 0                 x →0 − 0

             у                                             у




             В
             А

                        x0        х
                                                                            х

                   Рис. 29
                                                                  Рис. 30

      Определение. Функция f ( x) называется непрерывной на интервале
(отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).
      При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка
или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на кон-
цах отрезка или интервала.

                  Свойства функций, непрерывных на отрезке
      Свойство 1: Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом
отрезке.
      Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [ a; b ] , принимает на
этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т.е. существуют значе-
ния      x1 , x2 ∈ [ a; b ] , такие, что f ( x1 ) = m , f ( x2 ) = M , причем
m ≤ f ( x) ≤ M .
         Свойство 3: Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и
имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то внутри ин-
тервала (a; b) существует по крайнеё мере одна точка c , в которой
 f (c ) = 0 .
       Свойство 4: Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [ a; b ] ,
f (a ) = A , f (b) = B ( A ≠ B) и С – произвольное число, находящееся между

                                                 71