Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 70 стр.

                          2      1
      3                1+ 2 + 3
     x + 2x + 1           x=     x            1
 lim            = lim                   = 0.
                                        lim
x →∞ x 4 + 2      x →∞ x + 2           x →∞ x
                               3
                             x
                                          tg5 x
     Пример 4. Найти предел lim                  .
                                   x → 0 sin 7 x
     Так как tg5 x  5 x, sin 7 x  7 x при x → 0 то, заменив функции экви-
                                                          tg5 x        5x 5
валентными бесконечно малыми, получим lim = lim                   =          .
                                                   x → 0 sin 7 x x → 0 7 x 7

                                      x3
      Пример 5. Найти предел lim             .
                             x → 0 1 − cos x
                                               2
                               2x x
      Так как 1 − cos x =
                        2sin   ~ 2               при x → 0 , то
                             2    2
         x3           x3
lim = lim         = lim    =    2x 0 .
x → 0 1 − cos x x → 0 x 2 x → 0
                       2

                      Непрерывность функции в точке
     Определение. Функция f ( x) , определённая в окрестности некоторой
точки x0 , называется непрерывной в точке x0 , если предел функции при
x → x0 равен значению функции в этой точке, т.е.
                                    lim f ( x) = f ( x0 ) .
                                 x → x0
Тот же факт можно записать иначе: lim f ( x) = f ( lim x)
                                          x → x0              x → x0
      Определение. Если функция f ( x) определена в некоторой окрестно-
сти точки x0 , но не является непрерывной в самой точке x0 , то она назы-
вается разрывной функцией, а точка x0 – точкой разрыва.
      Определение. Функция f ( x) называется непрерывной в точке x0 ,
если для любого положительного числа ε существует такое число δ > 0 ,
что для любых x , удовлетворяющих условию x − x0 < δ , выполняется
неравенство
                            f ( x) − f ( x0 ) < ε .


                                          69