Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

67
Свойства эквивалентных бесконечно малых
1) α ~ α,
2) Если α ~ β и β ~ γ, то α ~ γ,
3) Если α ~ β, то β ~ α,
4) Если α ~ α
1
и β ~ β
1
и
lim
xa
k
→
α
=
β
, то и
1
1
lim
xa
k
→
α
=
β
или
1
1
lim lim
xa xa→→
α
α
=
ββ
.
Следствие: а) если α ~ α
1
и
lim
xa
k
→
α
=
β
, то и
1
lim lim
xa xa→→
α
α
=
ββ
б) если β ~ β
1
и lim
xa
k
→
α
=
β
, то
1
lim lim
xa xa→→
αα
=
ββ
Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означа-
ет, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на
эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при
нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им
функции, что может сильно упростить вычисление пределов.
Приведем без доказательства несколько полезных формул.
1) Первый замечательный предел:
0
sin
lim 1.
x
x
x
→
=
2) Второй замечательный предел:
1
0
1
lim 1 lim (1 ) .
α
→∞ α→

+ = +α =


x
x
e
x
2а) Следствие из второго замечательного предела:
0
lim 1 lim (1 ) .
α
→∞ α→

+ = +α =


m
mx
km
x
k
ke
x
(6.1)
3)
, где
1
01
( ) ...
nn
n
Px a x ax a
−
= + ++
и
1
01
( ) ...
mm
m
Qx b x bx b
−
= + ++
- многочлены степени
n
и
m
соответствен-
но, то 
                    Свойства эквивалентных бесконечно малых
1) α ~ α,
2) Если α ~ β и β ~ γ, то α ~ γ,
3) Если α ~ β, то β ~ α,
                             α                   α              α       α
4) Если α ~ α 1 и β ~ β 1 и lim = k , то и lim 1 = k или lim = lim 1 .
                        x→a β              x → a β1       x → a β x → a β1
                                          α             α         α
      Следствие: а) если α ~ α 1 и lim = k , то и lim = lim 1
                                    x→a β           x→a β x→a β
                                    α                α       α
                   б) если β ~ β 1 и lim
                                      = k , то lim = lim
                                x→a β          x → a β x → a β1
      Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означа-
ет, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на
эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при
нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им
функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

           Приведем без доказательства несколько полезных формул.
                                            sin x
      1) Первый замечательный предел: lim         = 1.
                                        x →0 x
      2) Второй замечательный предел:
                                         x                1
                               1
                          lim 1 +=           α) α e.
                                       lim (1 +=
                         x →∞    x   α→0
      2а) Следствие из второго замечательного предела:
                                   mx                 m
                            k
                                               ) α ekm .
                       lim 1 + = lim (1 + k α=                        (6.1)
                      x →∞    x  α→0
              P( x)
      3) lim                   ) a0 x n + a1 x n −1 + ... + an и
                     , где P( x=
         x →∞ Q ( x)
    ) b0 x m + b1 x m −1 + ... + bm - многочлены степени n и m соответствен-
Q( x=
но, то




                                         67

Страницы