Ряды. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÐÒÉÚÎÁËÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÑÄÏ× 11
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÉÍÅÎÉÍ ÐÒÉÚÎÁË ëÏÛÉ.
a
n
=
1
(ln n)
n
,
q = lim
n→∞
n
√
a
n
= lim
n→∞
n
s
1
(ln n)
n
= lim
n→∞
1
ln n
= 0.
ôÁË ËÁË q = 0 < 1, ÔÏ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ëÏÛÉ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÊ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ðÒÉÍÅÒ 11. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
∞
X
n=1
3n + 1
n − 5
n
.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÉÍÅÎÉÍ ÐÒÉÚÎÁË ëÏÛÉ.
a
n
=
3n + 1
n − 5
n
,
q = lim
n→∞
n
√
a
n
= lim
n→∞
n
s
3n + 1
n − 5
n
= lim
n→∞
3n + 1
n − 5
= 3.
ôÁË ËÁË q = 3 > 1, ÔÏ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ëÏÛÉ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÊ ÒÑÄ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
2.5. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ëÏÛÉíÁËÌÏÒÅÎÁ
åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [1; +∞) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ, ÐÏÌÏÖÉ-
ÔÅÌØÎÏÊ É ÎÅ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÅÊ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÒÑÄ
∞
X
n=1
a
n
= a
1
+ a
2
+ a
3
+ . . . + a
n
+ . . . ÇÄÅ a
n
= f(n),
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÉÌÉ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ Ó ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ
+∞
Z
1
f(x) dx.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÅ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÉÖÎÅÇÏ ÐÒÅÄÅÌÁ ÍÏÖÎÏ ÂÒÁÔØ
ÌÀÂÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÂÏÌØÛÅÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏÅ 1.
ðÒÉÍÅÒ 12. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
1
2
+
1
5
+
1
10
+
1
17
+ . . . +
1
1 + n
2
+ . . .
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÉÍÅÎÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ëÏÛÉíÁËÌÏ-
ÒÅÎÁ. þÔÏÂÙ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f(x), ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ × ÆÏÒÍÕÌÅ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ
ÒÑÄÁ ÚÁÍÅÎÉÔØ n ÎÁ x. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, f (x) =
1
1+x
2
. ôÁË ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ f (x)
§2. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÐÒÉÚÎÁËÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÑÄÏ×                11

  òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÉÍÅÎÉÍ ÐÒÉÚÎÁË ëÏÛÉ.
                                   1
                           an =         ,
                                (ln n)n
                               s
                   √                1           1
           q = lim n an = lim n           = lim   = 0.
               n→∞        n→∞    (ln n)n n→∞ ln n
ôÁË ËÁË q = 0 < 1, ÔÏ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ëÏÛÉ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÊ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
  ðÒÉÍÅÒ 11. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
                              ∞         n
                             X    3n + 1
                                            .
                             n=1
                                   n − 5
  òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÉÍÅÎÉÍ ÐÒÉÚÎÁË ëÏÛÉ.
                                      n
                                3n + 1
                         an =             ,
                                n−5
                            s         n
                √           n  3n  + 1          3n + 1
        q = lim n an = lim                = lim        = 3.
            n→∞        n→∞      n−5         n→∞ n − 5

ôÁË ËÁË q = 3 > 1, ÔÏ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ëÏÛÉ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÊ ÒÑÄ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.

2.5. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ëÏÛÉ íÁËÌÏÒÅÎÁ

åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [1; +∞) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ, ÐÏÌÏÖÉ-
ÔÅÌØÎÏÊ É ÎÅ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÅÊ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÒÑÄ
            X∞
                an = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . ÇÄÅ an = f (n),
            n=1
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÉÌÉ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ Ó ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ
                              Z+∞
                                 f (x) dx.
                                1
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÅ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÉÖÎÅÇÏ ÐÒÅÄÅÌÁ ÍÏÖÎÏ ÂÒÁÔØ
ÌÀÂÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÂÏÌØÛÅÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏÅ 1.
   ðÒÉÍÅÒ 12. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
                  1 1      1    1           1
                    + +      +     + ...+        + ...
                  2 5 10 17               1 + n2
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÉÍÅÎÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ëÏÛÉ íÁËÌÏ-
ÒÅÎÁ. þÔÏÂÙ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x), ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ × ÆÏÒÍÕÌÅ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ
                                               1
ÒÑÄÁ ÚÁÍÅÎÉÔØ n ÎÁ x. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, f (x) = 1+x 2 . ôÁË ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ f (x)

Страницы