Ряды. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÐÒÉÚÎÁËÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÑÄÏ× 13
ðÒÉÍÅÒ 15. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ äÉÒÉÈÌÅ
∞
X
n=1
1
n
p
,
ÇÄÅ p ÌÀÂÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.
òÅÛÅÎÉÅ: ïÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÒÑÄÁ a
n
=
1
n
p
. åÓÌÉ p 6 0, ÔÏ ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÒÑÄÁ
a
n
ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÐÒÉ n → ∞. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔ-
ÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ, ÒÑÄ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÈÏ-
ÄÉÔØÓÑ. äÌÑ p > 0 ÐÒÉÍÅÎÉÍ ÐÒÉÚÎÁË ëÏÛÉíÁËÌÏÒÅÎÁ. äÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
f(x) =
1
x
p
. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÑ.
1) ðÕÓÔØ p = 1. ôÏÇÄÁ ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÒÑÄÁ a
n
=
1
n
, ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÍ. éÍÅÅÍ
+∞
Z
1
dx
x
= lim
b→+∞
b
Z
1
dx
x
= lim
b→+∞
[ln x]
b
1
= lim
b→+∞
(ln b − ln 1) = +∞.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍÕ ÐÒÉÚÎÁËÕ ëÏÛÉíÁËÌÏÒÅÎÁ ÇÁÒ-
ÍÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÒÑÄ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
2) ðÕÓÔØ p > 1. ôÏÇÄÁ
+∞
Z
1
dx
x
p
= lim
b→+∞
b
Z
1
dx
x
p
= lim
b→+∞
b
Z
1
x
−p
dx = lim
b→+∞
x
−p+1
−p + 1
b
1
=
=
1
1 − p
lim
b→+∞
1
x
p−1
b
1
=
1
1 − p
lim
b→+∞
1
b
p−1
− 1
=
1
p − 1
.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍÕ ÐÒÉÚÎÁËÕ ëÏÛÉíÁËÌÏÒÅÎÁ ÒÑÄ
äÉÒÉÈÌÅ ÐÒÉ p > 1 ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
3) åÓÌÉ p < 1, ÔÏ lim
b→+∞
1
b
p−1
= +∞ É ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ äÉÒÉÈÌÅ
∞
P
n=1
1
n
p
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ p > 1 É ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ
p 6 1.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÑÄÙ ÞÁÓÔÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔ ÄÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÄÒÕ-
ÇÉÍÉ ÒÑÄÁÍÉ ÐÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ×ÏÐÒÏÓÁ Ï ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ.
∞
P
n=1
q
n
q < 1 ÓÈÏÄÉÔÓÑ (q > 0),
q > 1 ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ
(ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 3 §1),
∞
P
n=1
1
n
p
p 6 1 ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ,
p > 1 ÓÈÏÄÉÔÓÑ
(ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 15).
§2. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÐÒÉÚÎÁËÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÑÄÏ×                           13

  ðÒÉÍÅÒ 15. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ äÉÒÉÈÌÅ
                                              ∞
                                             X   1
                                                   p
                                                     ,
                                             n=1
                                                 n
ÇÄÅ p ÌÀÂÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.
   òÅÛÅÎÉÅ: ïÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÒÑÄÁ an = n1p . åÓÌÉ p 6 0, ÔÏ ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÒÑÄÁ
an ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÐÒÉ n → ∞. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔ-
ÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ, ÒÑÄ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÈÏ-
ÄÉÔØÓÑ. äÌÑ p > 0 ÐÒÉÍÅÎÉÍ ÐÒÉÚÎÁË ëÏÛÉ íÁËÌÏÒÅÎÁ. äÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
f (x) = x1p . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÑ.
     1) ðÕÓÔØ p = 1. ôÏÇÄÁ ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÒÑÄÁ an = n1 , ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
        ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÍ. éÍÅÅÍ
          Z+∞              Zb
                dx              dx
                   = lim           = lim [ln x]b1 = lim (ln b − ln 1) = +∞.
                 x  b→+∞        x   b→+∞           b→+∞
          1                1

         óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍÕ ÐÒÉÚÎÁËÕ ëÏÛÉ íÁËÌÏÒÅÎÁ ÇÁÒ-
         ÍÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÒÑÄ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
      2) ðÕÓÔØ p > 1. ôÏÇÄÁ

  Z+∞              Zb               Zb                                   b
                                                                x−p+1
                                                            
        dx              dx                   −p
           = lim           = lim         x dx = lim                           =
        xp b→+∞         xp b→+∞                      b→+∞       −p + 1    1
  1                1                 1
                                        b                    
                            1          1      1          1           1
                        =        lim        =      lim      − 1   =     .
                          1 − p b→+∞ xp−1 1 1 − p b→+∞ bp−1         p−1
         óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÍÕ ÐÒÉÚÎÁËÕ ëÏÛÉ íÁËÌÏÒÅÎÁ ÒÑÄ
         äÉÒÉÈÌÅ ÐÒÉ p > 1 ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
                              1
      3) åÓÌÉ p < 1, ÔÏ lim bp−1 = +∞ É ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
                         b→+∞
                                         ∞
                                             1
                                         P
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ äÉÒÉÈÌÅ                   np   ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ p > 1 É ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ
                                     n=1
p 6 1.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÑÄÙ ÞÁÓÔÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔ ÄÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÄÒÕ-
ÇÉÍÉ ÒÑÄÁÍÉ ÐÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ×ÏÐÒÏÓÁ Ï ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ.
         ∞
                
        P     n   q < 1 ÓÈÏÄÉÔÓÑ (q > 0),
            q                                (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 3 §1),
        n=1       q > 1 ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ
         ∞
                
        P    1    p 6 1 ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ,
            np                               (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 15).
        n=1       p > 1 ÓÈÏÄÉÔÓÑ

Страницы