Ряды. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

14 §2. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÐÒÉÚÎÁËÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÑÄÏ×
ðÒÉÍÅÒ 16. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
∞
X
n=1
n
2
e
n
.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ e
n
ÐÒÉ n → ∞ ÒÁÓÔÅÔ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ ÌÀ-
ÂÁÑ ÓÔÅÐÅÎØ n, ÐÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ s > 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ N
0
(s)
(ÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÏÔ s), ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n > N
0
(s) ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï e
n
> n
s
.
ïÔÓÀÄÁ, ÄÌÑ ÞÌÅÎÏ× ÒÑÄÁ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
n
2
e
n
<
n
2
n
s
=
1
n
s−2
ÐÒÉ ÌÀ-
ÂÏÍ n > N
0
(s). äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÒÑÄ
∞
P
n=1
1
n
s−2
ÓÈÏÄÉÌÓÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ
ÕÓÌÏ×ÉÑ s − 2 > 1, ÔÏ ÅÓÔØ s > 3. ðÏÌÏÖÉÍ s = 5 É ÐÏÌÕÞÉÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
n
2
e
n
<
1
n
3
. ôÏÇÄÁ, × ÓÉÌÕ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÒÉÚÎÁËÁ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ ÒÑÄ
∞
P
n=1
n
2
e
n
ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ
∞
P
n=1
1
n
3
.
ðÒÉÍÅÒ 17. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
∞
X
n=1
ln n
n
3/2
.
òÅÛÅÎÉÅ: ìÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ln x ÐÒÉ x → +∞ ÒÁÓÔÅÔ ÍÅÄ-
ÌÅÎÎÅÅ, ÞÅÍ ÌÀÂÁÑ ÓÔÅÐÅÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ x
s
(s > 0). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÌÀ-
ÂÏÇÏ s > 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ N
0
(s), ÞÔÏ ln n < n
s
ÐÒÉ n > N
0
(s). ïÔÓÀÄÁ
ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
ln n
n
3/2
<
n
s
n
3/2
. ðÏÌÏÖÉÍ s =
1
3
, ÔÏÇÄÁ
ln n
n
3/2
<
1
n
7/6
. òÑÄ
∞
P
n=1
1
n
7/6
ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÐÏÜÔÏÍÕ, × ÓÉÌÕ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÒÉÚÎÁËÁ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÓÈÏÄÉÔÓÑ É
ÒÑÄ
∞
P
n=1
ln n
n
3/2
.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
éÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÒÉÚÎÁËÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ:
29)
∞
P
n=1
n
(n + 2)2
n
.
30)
∞
P
n=1
1
p
n(n + 2)
.
31)
∞
P
n=1
1
p
(n + 2)(n
2
+ 1)
.
32)
∞
P
n=1
n
2
+ 3n + 2
3n
4
+ n
3
+ 2n + 1
.
14                   §2. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÐÒÉÚÎÁËÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÑÄÏ×

     ðÒÉÍÅÒ 16. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
                                  ∞
                                 X   n2
                                       n
                                         .
                                 n=1
                                     e
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ en ÐÒÉ n → ∞ ÒÁÓÔÅÔ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ ÌÀ-
ÂÁÑ ÓÔÅÐÅÎØ n, ÐÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ s > 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ N 0(s)
(ÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÏÔ s), ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n > N0(s) ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï en > ns .
                                                      2    2
ïÔÓÀÄÁ, ÄÌÑ ÞÌÅÎÏ× ÒÑÄÁ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ nen < nns = ns−21
                                                                  ÐÒÉ ÌÀ-
                                   ∞
                                      1
                                   P
ÂÏÍ n > N0 (s). äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÒÑÄ   ns−2 ÓÈÏÄÉÌÓÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ
                                        n=1
ÕÓÌÏ×ÉÑ s − 2 > 1, ÔÏ ÅÓÔØ s > 3. ðÏÌÏÖÉÍ s = 5 É ÐÏÌÕÞÉÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
                                                                     ∞ 2
n2   1                                                                 n
                                                                     P
en < n3 . ôÏÇÄÁ, × ÓÉÌÕ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÒÉÚÎÁËÁ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ ÒÑÄ   en
                                                                            n=1
                                        ∞
                                              1
                                        P
ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ              n3
                                                 .
                                        n=1
     ðÒÉÍÅÒ 17. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
                                 ∞
                                X   ln n
                                      3/2
                                          .
                                n=1
                                    n
   òÅÛÅÎÉÅ: ìÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ln x ÐÒÉ x → +∞ ÒÁÓÔÅÔ ÍÅÄ-
ÌÅÎÎÅÅ, ÞÅÍ ÌÀÂÁÑ ÓÔÅÐÅÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ xs (s > 0). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÌÀ-
ÂÏÇÏ s > 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ N0(s), ÞÔÏ ln n < ns ÐÒÉ n > N0 (s). ïÔÓÀÄÁ
                                  s
ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï nln3/2n < nn3/2 . ðÏÌÏÖÉÍ s = 31 , ÔÏÇÄÁ nln3/2n < n7/6
                                                                         1
                                                                             . òÑÄ
 ∞
P 1
   n7/6
        ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÐÏÜÔÏÍÕ, × ÓÉÌÕ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÒÉÚÎÁËÁ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÓÈÏÄÉÔÓÑ É
n=1
      ∞
            ln n
      P
ÒÑÄ         n3/2
                 .
      n=1


úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

éÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÒÉÚÎÁËÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ:
      P∞       n
  29)              n
                     .
      n=1 (n + 2)2
      P∞        1
  30)     p            .
      n=1   n(n + 2)
      P∞           1
  31)     p                 .
      n=1   (n + 2)(n2 + 1)
      P∞      n2 + 3n + 2
  32)        4    3
                            .
      n=1 3n + n + 2n + 1

Страницы