Ряды. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

12 §2. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÐÒÉÚÎÁËÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÑÄÏ×
ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [1; +∞) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ, ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ É ÕÂÙ×ÁÀ-
ÝÅÊ, ÔÏ ÍÏÖÅÍ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÍ ÐÒÉÚÎÁËÏÍ ëÏÛÉíÁËÌÏÒÅ-
ÎÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
+∞
Z
1
dx
1 + x
2
= lim
b→+∞
[arctg x]
b
1
=
π
2
−
π
4
=
π
4
.
ôÁË ËÁË ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÏ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ëÏÛÉíÁËÌÏ-
ÒÅÎÁ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÊ ÒÑÄ.
ðÒÉÍÅÒ 13. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
∞
X
n=1
1
n(n + 3)
.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÉÍÅÎÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ëÏÛÉíÁËÌÏ-
ÒÅÎÁ. äÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ f (x) =
1
x(x+3)
. äÁÌÅÅ,
+∞
Z
1
dx
x(x + 3)
= lim
b→+∞
b
Z
1
dx
x(x + 3)
= lim
b→+∞
1
3
b
Z
1
1
x
−
1
x + 3
dx =
=
1
3
lim
b→+∞
[ln x − ln(x + 3)]
b
1
=
1
3
lim
b→+∞
ln
x
x + 3
b
1
=
=
1
3
lim
b→+∞
ln
b
b + 3
− ln
1
4
=
1
3
ln 4 = ln
3
√
4.
ôÁË ËÁË ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÏ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ëÏÛÉíÁËÌÏ-
ÒÅÎÁ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÊ ÒÑÄ.
ðÒÉÍÅÒ 14. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
∞
X
n=2
1
n ln n
.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÉÍÅÎÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ëÏÛÉíÁËÌÏ-
ÒÅÎÁ. äÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ f (x) =
1
x ln x
. éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
+∞
Z
2
dx
x ln x
= lim
b→+∞
b
Z
2
d ln x
ln x
= lim
b→+∞
[ln ln x]
b
2
= lim
b→+∞
[ln ln b −ln ln 2] = +∞.
ôÁË ËÁË ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÏ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ëÏÛÉíÁËÌÏ-
ÒÅÎÁ ÒÑÄ
∞
P
n=2
1
n ln n
ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
12                  §2. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÐÒÉÚÎÁËÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÑÄÏ×

ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [1; +∞) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ, ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ É ÕÂÙ×ÁÀ-
ÝÅÊ, ÔÏ ÍÏÖÅÍ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÍ ÐÒÉÚÎÁËÏÍ ëÏÛÉ íÁËÌÏÒÅ-
ÎÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                        Z+∞
                                  dx                 b   π π   π
                                      = lim [arctg x]1 =  −  =   .
                                1 + x2 b→+∞              2 4   4
                        1

ôÁË ËÁË ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÏ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ëÏÛÉ íÁËÌÏ-
ÒÅÎÁ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÊ ÒÑÄ.
   ðÒÉÍÅÒ 13. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
                                           ∞
                                           X        1
                                                          .
                                           n=1
                                                 n(n + 3)
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÉÍÅÎÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ëÏÛÉ íÁËÌÏ-
                                  1
ÒÅÎÁ. äÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ f (x) = x(x+3) . äÁÌÅÅ,

  Z+∞                            Zb                           Zb          
            dx                           dx         1                1   1
                 = lim                        = lim                    −     dx =
         x(x + 3) b→+∞                x(x + 3) b→+∞ 3                x x+3
     1                           1                            1
                                                                   b
                      1                        b    1           x
                    =    lim [ln x − ln(x + 3)]1 =     lim ln          =
                      3 b→+∞                        3 b→+∞    x+3 1
                                                                               √
                                                                 
                                          1              b      1     1        3
                                       =     lim ln        − ln     = ln 4 = ln 4.
                                          3 b→+∞      b+3       4     3
ôÁË ËÁË ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÏ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ëÏÛÉ íÁËÌÏ-
ÒÅÎÁ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÊ ÒÑÄ.
   ðÒÉÍÅÒ 14. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
                                             ∞
                                             X        1
                                                          .
                                             n=2
                                                   n ln n
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÉÍÅÎÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ëÏÛÉ íÁËÌÏ-
ÒÅÎÁ. äÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ f (x) = x ln1 x . éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
     Z+∞                    Zb
            dx                   d ln x
                 = lim                  = lim [ln ln x]b2 = lim [ln ln b − ln ln 2] = +∞.
           x ln x b→+∞            ln x   b→+∞              b→+∞
     2                      2

ôÁË ËÁË ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÏ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ëÏÛÉ íÁËÌÏ-
          ∞
               1
         P
ÒÅÎÁ ÒÑÄ    n ln n ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
              n=2

Страницы