Ряды. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

20 §3. úÎÁËÏÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ
úÎÁËÏÞÅÒÅÄÕÀÝÉÊÓÑ ÒÑÄ
∞
X
n=1
(−1)
n−1
a
n
= a
1
− a
2
+ a
3
− a
4
+ . . . + (−1)
n−1
a
n
+ . . . , a
n
> 0
ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ
1) a
n
> a
n+1
ÄÌÑ ×ÓÅÈ n,
2) lim
n→∞
a
n
= 0.
ðÒÉÍÅÒ 1. äÏËÁÚÁÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ
1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+ . . . + (−1)
n−1
1
n
+ . . .
üÔÏÔ ÒÑÄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ìÅÊÂÎÉÃÁ.
òÅÛÅÎÉÅ: äÁÎÎÙÊ ÒÑÄ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÐÒÉÚÎÁËÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ.
þÌÅÎÙ ÒÑÄÁ ÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÀÔ, ÔÁË ËÁË
1 >
1
2
>
1
3
>
1
4
> . . . É lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
1
n
= 0.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. äÌÑ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÚÎÁËÏÞÅÒÅÄÕÀÝÅÇÏÓÑ ÒÑÄÁ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ,
ÞÔÏÂÙ ÅÇÏ ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÓÔÒÅÍÉÌÓÑ Ë ÎÕÌÀ. ÷ ÐÒÉÚÎÁËÅ ìÅÊÂÎÉÃÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎ-
ÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÒÑÄÁ ÓÔÒÅÍÉÌÁÓØ Ë ÎÕÌÀ ÍÏ-
ÎÏÔÏÎÎÏ.
ðÒÉÍÅÒ 2. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ, ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÉÌÉ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ
1
√
2 − 1
−
1
√
2 + 1
+
1
√
3 − 1
−
1
√
3 + 1
+ . . . +
1
√
n − 1
−
1
√
n + 1
+ . . .
òÅÛÅÎÉÅ: òÑÄ ÚÎÁËÏÞÅÒÅÄÕÀÝÉÊÓÑ, ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÓÔÒÅÍÉÔ-
ÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÐÒÉ n → ∞, ÎÏ ÞÌÅÎÙ ÒÑÄÁ ÕÂÙ×ÁÀÔ ÎÅÍÏÎÏÔÏÎÎÏ (ÎÁÒÕÛÅÎÏ ÏÄÎÏ
ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÐÒÉÚÎÁËÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ).
1
√
2 − 1
>
1
√
2 + 1
, Á
1
√
2 + 1
<
1
√
3 − 1
É ÔÁË ÄÁÌÅÅ.
íÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔØ ÎÁÒÕÛÁÅÔÓÑ ÐÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÏÔ ÞÌÅÎÁ −
1
√
n+1
Ë ÞÌÅÎÕ
1
√
n+1−1
.
éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ, ÐÏÌØÚÕÑÓØ ÏÓÎÏ×ÎÙÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ.
óÏÓÔÁ×ÉÍ ÞÁÓÔÉÞÎÕÀ ÓÕÍÍÕ ÉÚ 2n ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ×.
S
2n
=
n+1
X
k=2
1
√
k − 1
−
1
√
k + 1
=
n+1
X
k=2
2
k − 1
= 2
n
X
k=1
1
k
.
lim
n→∞
S
2n
= 2 lim
n→∞
n
X
k=1
1
k
= +∞,
20                                                       §3. úÎÁËÏÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ

     úÎÁËÏÞÅÒÅÄÕÀÝÉÊÓÑ ÒÑÄ
       X∞
          (−1)n−1an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . . + (−1)n−1an + . . . ,   an > 0
       n=1
ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ
    1) an > an+1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ n,
    2) lim an = 0.
         n→∞
   ðÒÉÍÅÒ 1. äÏËÁÚÁÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ
                         1 1 1                1
                     1 − + − + . . . + (−1)n−1 + . . .
                         2 3 4                n
üÔÏÔ ÒÑÄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ìÅÊÂÎÉÃÁ.
   òÅÛÅÎÉÅ: äÁÎÎÙÊ ÒÑÄ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÐÒÉÚÎÁËÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ.
þÌÅÎÙ ÒÑÄÁ ÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÀÔ, ÔÁË ËÁË
                    1 1 1                            1
               1 > > > > . . . É lim an = lim = 0.
                    2 3 4             n→∞      n→∞ n
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. äÌÑ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÚÎÁËÏÞÅÒÅÄÕÀÝÅÇÏÓÑ ÒÑÄÁ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ,
ÞÔÏÂÙ ÅÇÏ ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÓÔÒÅÍÉÌÓÑ Ë ÎÕÌÀ. ÷ ÐÒÉÚÎÁËÅ ìÅÊÂÎÉÃÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎ-
ÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÒÑÄÁ ÓÔÒÅÍÉÌÁÓØ Ë ÎÕÌÀ ÍÏ-
ÎÏÔÏÎÎÏ.
   ðÒÉÍÅÒ 2. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ, ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÉÌÉ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ
       1          1         1       1            1         1
     √     −√          +√       −√     + ...+ √        −√       + ...
      2−1        2+1       3−1    3+1           n−1       n+1
   òÅÛÅÎÉÅ: òÑÄ ÚÎÁËÏÞÅÒÅÄÕÀÝÉÊÓÑ, ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÓÔÒÅÍÉÔ-
ÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÐÒÉ n → ∞, ÎÏ ÞÌÅÎÙ ÒÑÄÁ ÕÂÙ×ÁÀÔ ÎÅÍÏÎÏÔÏÎÎÏ (ÎÁÒÕÛÅÎÏ ÏÄÎÏ
ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÐÒÉÚÎÁËÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ).
             1           1          1       1
          √        >√        , Á √     <√          É ÔÁË ÄÁÌÅÅ.
            2−1         2+1        2+1     3−1
                                                 1             1
íÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔØ ÎÁÒÕÛÁÅÔÓÑ ÐÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÏÔ ÞÌÅÎÁ − √n+1 Ë ÞÌÅÎÕ √n+1−1 .
  éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ, ÐÏÌØÚÕÑÓØ ÏÓÎÏ×ÎÙÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ.
óÏÓÔÁ×ÉÍ ÞÁÓÔÉÞÎÕÀ ÓÕÍÍÕ ÉÚ 2n ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ×.
                n+1                  X n+1           n
                X       1       1             2      X    1
          S2n =       √      −√       =           =2        .
                       k − 1   k + 1         k−1          k
                k=2                      k=2          k=1
                                              n
                                              X 1
                           lim S2n = 2 lim              = +∞,
                           n→∞          n→∞         k
                                              k=1

Страницы