Ряды. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

22 §3. úÎÁËÏÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ
òÅÛÅÎÉÅ: åÓÌÉ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÒÑÄ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÞÌÅÎÏ× ÄÁÎÎÏÇÏ
ÒÑÄÁ, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÒÑÄ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. éÓÈÏÄÎÙÊ ÒÑÄ
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 1). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÁÎÎÙÊ ÒÑÄ
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏ.
ðÒÉÍÅÒ 5. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÑÄ
1 −
1
2
+
1
2
2
−
1
2
3
+
1
2
4
− . . .
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ.
òÅÛÅÎÉÅ: äÁÎÎÙÊ ÚÎÁËÏÞÅÒÅÄÕÀÝÉÊÓÑ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂ-
ÎÉÃÁ. åÓÌÉ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÒÑÄ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ×, ÔÏ ÐÏÌÕ-
ÞÉÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÂÙ×ÁÀÝÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÁÎÎÙÊ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÕÓÔØ ÒÑÄ (1) Ó ÞÌÅÎÁÍÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÚÎÁËÁ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂ-
ÓÏÌÀÔÎÏ. åÓÌÉ × ÜÔÏÍ ÒÑÄÕ ×ÙÂÒÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÏÔ-
ÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÅ ÞÌÅÎÙ, ÔÏ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ ÂÕÄÕÔ ÏÂÁ ÓÈÏÄÑÝÉÍÉÓÑ. åÓÌÉ ÖÅ
ÒÑÄ (1) ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏ, ÔÏ ÒÑÄÙ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ
ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ×, ÂÕÄÕÔ ÒÁÓÈÏÄÑÝÉÍÉÓÑ ÒÑÄÁÍÉ.
ðÒÉÍÅÒ 6. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÑÄ
1 −
1
3
+
1
2
−
1
9
+
1
4
−
1
27
+
1
8
− . . .
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÌÅÎÙ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÓÈÏÄÑÝÕÀÓÑ
ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÀ
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ . . . ,
ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÎÁ 2. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÅ ÞÌÅÎÙ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÀ
−
1
3
−
1
9
−
1
27
−
1
81
− . . . ,
ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÎÁ −
1
2
. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÁÎÎÙÊ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ
É ÅÇÏ ÓÕÍÍÁ ÒÁ×ÎÁ 2 −
1
2
=
3
2
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÞÁÓÔÏ ÂÕÄÅÔ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÒÑÄ
∞
P
n=0
q
n
, ËÏ-
ÔÏÒÙÊ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ |q| < 1, ÐÒÉÞÅÍ
∞
P
n=0
q
n
=
1
1−q
(ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 3 §1).
22                                                   §3. úÎÁËÏÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ

   òÅÛÅÎÉÅ: åÓÌÉ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÒÑÄ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÞÌÅÎÏ× ÄÁÎÎÏÇÏ
ÒÑÄÁ, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÒÑÄ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. éÓÈÏÄÎÙÊ ÒÑÄ
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 1). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÁÎÎÙÊ ÒÑÄ
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏ.
   ðÒÉÍÅÒ 5. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÑÄ
                               1   1   1   1
                          1−     + 2 − 3 + 4 −...
                               2 2    2   2
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ.
   òÅÛÅÎÉÅ: äÁÎÎÙÊ ÚÎÁËÏÞÅÒÅÄÕÀÝÉÊÓÑ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂ-
ÎÉÃÁ. åÓÌÉ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÒÑÄ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ×, ÔÏ ÐÏÌÕ-
ÞÉÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÂÙ×ÁÀÝÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÁÎÎÙÊ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÕÓÔØ ÒÑÄ (1) Ó ÞÌÅÎÁÍÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÚÎÁËÁ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂ-
ÓÏÌÀÔÎÏ. åÓÌÉ × ÜÔÏÍ ÒÑÄÕ ×ÙÂÒÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÏÔ-
ÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÅ ÞÌÅÎÙ, ÔÏ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ ÂÕÄÕÔ ÏÂÁ ÓÈÏÄÑÝÉÍÉÓÑ. åÓÌÉ ÖÅ
ÒÑÄ (1) ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏ, ÔÏ ÒÑÄÙ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ
ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ×, ÂÕÄÕÔ ÒÁÓÈÏÄÑÝÉÍÉÓÑ ÒÑÄÁÍÉ.
   ðÒÉÍÅÒ 6. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÑÄ
                          1 1 1 1  1  1
                     1−    + − + −   + − ...
                          3 2 9 4 27 8
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ.
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÌÅÎÙ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÓÈÏÄÑÝÕÀÓÑ
ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÀ
                                 1 1 1
                           1+     + + + ...,
                                 2 4 8
ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÎÁ 2. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÅ ÞÌÅÎÙ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÀ
                           1 1  1   1
                          − − −   −   − ...,
                           3 9 27 81
ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÎÁ − 12 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÁÎÎÙÊ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ
É ÅÇÏ ÓÕÍÍÁ ÒÁ×ÎÁ 2 − 12 = 32 .
                                                               ∞
                                                                  q n , ËÏ-
                                                               P
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÞÁÓÔÏ ÂÕÄÅÔ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÒÑÄ
                                                                          n=0
                                      ∞
                                                    1
                                            qn =
                                      P
ÔÏÒÙÊ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ |q| < 1, ÐÒÉÞÅÍ                1−q   (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 3 §1).
                                      n=0

Страницы