Ряды. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. úÎÁËÏÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ 21
ÔÁË ËÁË ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÒÑÄ
∞
P
k=1
1
k
ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. ôÁË ËÁË lim
n→∞
S
2n
= +∞, ÔÏ ÐÏ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÄÁÎÎÙÊ ÒÑÄ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ ÚÎÁËÏÞÅÒÅÄÕÀÝÉÊÓÑ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÏ ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ
×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÐÒÉÚÎÁË ìÅÊÂÎÉÃÁ. úÎÁËÏÞÅÒÅÄÕÀÝÉÊÓÑ ÒÑÄ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØ-
ÓÑ ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ, ËÏÇÄÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë
ÎÕÌÀ ÎÅÍÏÎÏÔÏÎÎÏ.
ðÒÉÍÅÒ 3. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ, ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÉÌÉ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ
1 −
1
2
3
+
1
3
4
−
1
4
3
+
1
5
4
− . . . +
1
(2n − 1)
4
−
1
(2n)
3
+ . . .
òÅÛÅÎÉÅ: ïÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÐÒÉ n → ∞,
ÈÏÔÑ É ÎÅÍÏÎÏÔÏÎÎÏ:
1 >
1
2
3
>
1
3
4
, Á
1
3
4
<
1
4
3
É ÔÁË ÄÁÌÅÅ.
ïÄÎÁËÏ ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ (É ÐÒÉÔÏÍ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ, ÓÍ. ÐÕÎËÔ 3.2), ÔÁË ËÁË
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ
1 +
1
2
3
+
1
3
4
+
1
4
3
+
1
5
4
+ . . . ,
ËÁÖÄÙÊ ÞÌÅÎ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÓÈÏÄÑÝÅÇÏ-
ÓÑ ÒÑÄÁ
∞
P
n=1
1
n
3
(ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 15 §2).
3.2. áÂÓÏÌÀÔÎÁÑ É ÕÓÌÏ×ÎÁÑ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÏ×
ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÒÑÄ Ó ÞÌÅÎÁÍÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÚÎÁËÁ
(1) a
1
+ a
2
+ a
3
+ . . . + a
n
+ . . .
óÏÓÔÁ×ÉÍ ÎÏ×ÙÊ ÒÑÄ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÞÌÅÎÏ× ÒÑÄÁ (1)
(2) |a
1
| + |a
2
| + |a
3
| + . . . + |a
n
| + . . .
òÑÄ (1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ, ÅÓÌÉ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ, ÓÏÓÔÁ-
×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ×, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ (2).
òÑÄ (1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏ ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÎÏ ÒÑÄ, ÓÏÓÔÁ-
×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ×, ÔÏ ÅÓÔØ ÒÑÄ (2), ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ (2), ÔÏ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÒÑÄ (1).
ðÒÉÍÅÒ 4. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÑÄ
1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+ . . . + (−1)
n−1
1
n
+ . . .
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏ.
§3. úÎÁËÏÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ                                                    21
                              ∞
                                    1
                              P
ÔÁË ËÁË ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÒÑÄ           k   ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. ôÁË ËÁË lim S2n = +∞, ÔÏ ÐÏ
                              k=1                                    n→∞
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÄÁÎÎÙÊ ÒÑÄ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ ÚÎÁËÏÞÅÒÅÄÕÀÝÉÊÓÑ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÏ ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ
×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÐÒÉÚÎÁË ìÅÊÂÎÉÃÁ. úÎÁËÏÞÅÒÅÄÕÀÝÉÊÓÑ ÒÑÄ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØ-
ÓÑ ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ, ËÏÇÄÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë
ÎÕÌÀ ÎÅÍÏÎÏÔÏÎÎÏ.
   ðÒÉÍÅÒ 3. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ, ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÉÌÉ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ
               1    1    1   1            1          1
          1 − 3 + 4 − 3 + 4 − ...+             4
                                                 −       + ...
               2   3    4   5         (2n − 1)     (2n)3
   òÅÛÅÎÉÅ: ïÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÐÒÉ n → ∞,
ÈÏÔÑ É ÎÅÍÏÎÏÔÏÎÎÏ:
                      1    1        1     1
                 1 > 3 > 4, Á           <      É ÔÁË ÄÁÌÅÅ.
                      2    3        34    43
ïÄÎÁËÏ ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ (É ÐÒÉÔÏÍ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ, ÓÍ. ÐÕÎËÔ 3.2), ÔÁË ËÁË
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ
                             1    1    1     1
                        1 + 3 + 4 + 3 + 4 + ...,
                            2    3     4    5
ËÁÖÄÙÊ ÞÌÅÎ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÓÈÏÄÑÝÅÇÏ-
         ∞
           1
        P
ÓÑ ÒÑÄÁ    n3 (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 15 §2).
        n=1


3.2. áÂÓÏÌÀÔÎÁÑ É ÕÓÌÏ×ÎÁÑ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÏ×

ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÒÑÄ Ó ÞÌÅÎÁÍÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÚÎÁËÁ
(1)                     a 1 + a2 + a3 + . . . + a n + . . .
  óÏÓÔÁ×ÉÍ ÎÏ×ÙÊ ÒÑÄ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÞÌÅÎÏ× ÒÑÄÁ (1)
(2)                  |a1 | + |a2 | + |a3 | + . . . + |an | + . . .
   òÑÄ (1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ, ÅÓÌÉ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ, ÓÏÓÔÁ-
×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ×, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ (2).
   òÑÄ (1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏ ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÎÏ ÒÑÄ, ÓÏÓÔÁ-
×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ×, ÔÏ ÅÓÔØ ÒÑÄ (2), ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ (2), ÔÏ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÒÑÄ (1).
   ðÒÉÍÅÒ 4. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÑÄ
                       1 1 1                   1
                   1 − + − + . . . + (−1)n−1 + . . .
                       2 3 4                   n
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏ.

Страницы