Ряды. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

24 §4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ
131)
∞
P
n=1
(−1)
n+1
2n − arctg n
.
132)
∞
P
n=1
(−1)
n+1
(n − 1)
2
n
2
+ 1
.
133)
∞
P
n=1
(−1)
n+1
arctg n
√
n
2
+ 1
.
134)
∞
P
n=2
(−1)
n
ln n
n
√
n
.
§4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ
4.1. ïÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
ðÕÓÔØ ÄÁÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÆÕÎËÃÉÊ
u
1
(x), u
2
(x), u
3
(x), . . . , u
n
(x), . . . ,
ÉÍÅÀÝÉÈ ÏÂÝÕÀ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.
æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÒÑÄÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ×Ù-
ÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
(1) u
1
(x) + u
2
(x) + u
3
(x) + . . . + u
n
(x) + . . . =
∞
X
n=1
u
n
(x).
æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÒÑÄ (1) ÐÒÉ ÏÄÎÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x ÍÏÖÅÔ ÏËÁ-
ÚÁÔØÓÑ ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÙÍ ÒÑÄÏÍ, Á ÐÒÉ ÄÒÕÇÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ
x ÒÁÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÙÍ ÒÑÄÏÍ. åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÒÑÄ (1) ÓÈÏÄÉÔÓÑ
ÐÒÉ x = x
0
, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ × ÔÏÞËÅ x
0
.
ïÂÌÁÓÔØÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ (1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ðÒÉÍÅÒ 1. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
(2)
∞
X
n=0
5
n
x
n
.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÏ×ÅÒÉÍ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÇÏ ÐÒÉÚÎÁËÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ
ÒÑÄÁ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÎÁÊÄÅÍ lim
n→∞
5
n
x
n
. ÷ ÓÌÕÞÁÅ 5|x| > 1 lim
n→∞
5
n
x
n
6= 0, ÚÎÁÞÉÔ
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÅÎ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÐÒÉ |x| >
1
5
ÒÑÄ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
24                                                             §4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ
            ∞
            P     (−1)n+1
     131)                    .
            n=1 2n − arctg n
             ∞         (n − 1)2
               (−1)n+1 2
            P
     132)                        .
            n=1         n  +   1
             ∞          arctg n
               (−1)n+1 √
            P
     133)                        .
            n=1          n2 + 1
             ∞       ln n
               (−1)n √ .
            P
     134)
            n=2      n n


     §4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ
4.1. ïÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ

ðÕÓÔØ ÄÁÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÆÕÎËÃÉÊ

                            u1 (x), u2(x), u3(x), . . . , un(x), . . . ,

ÉÍÅÀÝÉÈ ÏÂÝÕÀ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.
  æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÒÑÄÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ×Ù-
ÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
                                                                           ∞
                                                                           X
(1)              u1(x) + u2(x) + u3(x) + . . . + un (x) + . . . =                un (x).
                                                                           n=1

   æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÒÑÄ (1) ÐÒÉ ÏÄÎÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x ÍÏÖÅÔ ÏËÁ-
ÚÁÔØÓÑ ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÙÍ ÒÑÄÏÍ, Á ÐÒÉ ÄÒÕÇÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ
x ÒÁÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÙÍ ÒÑÄÏÍ. åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÒÑÄ (1) ÓÈÏÄÉÔÓÑ
ÐÒÉ x = x0, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ × ÔÏÞËÅ x0.
   ïÂÌÁÓÔØÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ (1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
                                            ∞
                                            X
(2)                                               5n xn .
                                            n=0

  òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÏ×ÅÒÉÍ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÇÏ ÐÒÉÚÎÁËÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ
ÒÑÄÁ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÎÁÊÄÅÍ lim 5n xn. ÷ ÓÌÕÞÁÅ 5|x| > 1 lim 5nxn 6= 0, ÚÎÁÞÉÔ
                                n→∞                                        n→∞
                                                                            1
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÅÎ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÐÒÉ |x| >                          5 ÒÑÄ    ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.

Страницы