Ряды. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ 25
ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ |x| <
1
5
. éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÒÑÄ (2) ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ. äÌÑ
ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÑÄ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÒÑÄÁ (2):
∞
P
n=0
5
n
|x|
n
. ÷ÏÓÐÏÌØ-
ÚÕÅÍÓÑ ÐÒÉÚÎÁËÏÍ ëÏÛÉ
lim
n→∞
n
p
5
n
|x|
n
= lim
n→∞
5|x| = 5|x|.
åÓÌÉ |x| <
1
5
, ÔÏ 5|x| < 1 É ÒÑÄ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
ÒÑÄÁ (2) ÓÈÏÄÉÔÓÑ, Á ÚÎÁÞÉÔ ÒÑÄ (2) ÐÒÉ |x| <
1
5
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ.
éÔÁË, ÒÑÄ (2)
ÐÒÉ |x| <
1
5
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ,
ÐÒÉ |x| >
1
5
ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ (2): |x| <
1
5
.
ðÒÉÍÅÒ 2. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
(3)
∞
X
n=2
2
n
n(x + 1)
n
, x 6= −1.
òÅÛÅÎÉÅ: éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÒÑÄ ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ, ÔÏ ÅÓÔØ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ
ÒÑÄ
(4)
∞
X
n=2
2
n
n
·
1
|x + 1|
n
, x 6= −1.
÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÐÒÉÚÎÁËÏÍ ëÏÛÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
lim
n→∞
n
s
2
n
n
·
1
|x + 1|
n
=
2
|x + 1|
,
ÐÏÜÔÏÍÕ
ÐÒÉ
2
|x+1|
< 1, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÉ x < −3, x > 1 ÒÑÄ (4) ÓÈÏÄÉÔÓÑ,
ÐÒÉ
2
|x+1|
> 1, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÉ −3 < x < 1, x 6= −1 ÒÑÄ (4) ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÉ x < −3, x > 1 ÒÑÄ (3) ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ, Á ÐÒÉ
−3 < x < 1, x 6= −1 ÒÑÄ (3) ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ôÅÐÅÒØ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ (3) ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ,
ÔÏ ÅÓÔØ × ÔÏÞËÁÈ x = −3 É x = 1. ðÕÓÔØ x = −3, ÔÏÇÄÁ ÒÑÄ (3) ÐÅÒÅÐÉÛÅÔÓÑ
× ×ÉÄÅ
∞
P
n=2
(−1)
n
n
. ðÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 1 §3).
ðÕÓÔØ x = 1, ÔÏÇÄÁ ÒÑÄ (3) ÐÅÒÅÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
∞
P
n=2
1
n
. ðÏÌÕÞÉÌÉ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅ-
ÓËÉÊ ÒÑÄ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
§4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ                                                               25

   ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ |x| < 15 . éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÒÑÄ (2) ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ. äÌÑ
                                                         ∞
                                                            5n |x|n. ÷ÏÓÐÏÌØ-
                                                         P
ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÑÄ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÒÑÄÁ (2):
                                                                       n=0
ÚÕÅÍÓÑ ÐÒÉÚÎÁËÏÍ ëÏÛÉ
                             p
                       lim   n
                               5n|x|n = lim 5|x| = 5|x|.
                      n→∞                    n→∞

åÓÌÉ |x| < 15 , ÔÏ 5|x| < 1 É ÒÑÄ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
ÒÑÄÁ (2) ÓÈÏÄÉÔÓÑ, Á ÚÎÁÞÉÔ ÒÑÄ (2) ÐÒÉ |x| < 51 ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ.
                      ÐÒÉ |x| < 51 ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ,
                   
    éÔÁË, ÒÑÄ (2)
                      ÐÒÉ |x| > 51 ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ (2): |x| < 51 .
  ðÒÉÍÅÒ 2. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
                          ∞
                          X        2n
(3)                                       ,         x 6= −1.
                          n=2
                                n(x + 1)n

  òÅÛÅÎÉÅ: éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÒÑÄ ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ, ÔÏ ÅÓÔØ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ
ÒÑÄ
                         ∞
                         X 2n             1
(4)                                ·            ,    x 6= −1.
                         n=2
                               n       |x + 1|n

÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÐÒÉÚÎÁËÏÍ ëÏÛÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
                          s
                            2n   1          2
                      lim n
                               ·       =         ,
                     n→∞    n |x + 1|n   |x + 1|
ÐÏÜÔÏÍÕ
        2
  ÐÒÉ |x+1| < 1, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÉ   x < −3, x > 1     ÒÑÄ (4) ÓÈÏÄÉÔÓÑ,
        2
  ÐÒÉ |x+1| > 1, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÉ −3 < x < 1, x 6= −1 ÒÑÄ (4) ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
   ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÉ x < −3, x > 1 ÒÑÄ (3) ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ, Á ÐÒÉ
−3 < x < 1, x 6= −1 ÒÑÄ (3) ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
   ôÅÐÅÒØ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ (3) ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ,
ÔÏ ÅÓÔØ × ÔÏÞËÁÈ x = −3 É x = 1. ðÕÓÔØ x = −3, ÔÏÇÄÁ ÒÑÄ (3) ÐÅÒÅÐÉÛÅÔÓÑ
       ∞
       P  (−1)n
× ×ÉÄÅ      n . ðÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 1 §3).
      n=2
                                                          ∞
                                                                1
                                                          P
ðÕÓÔØ x = 1, ÔÏÇÄÁ ÒÑÄ (3) ÐÅÒÅÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ                   n.   ðÏÌÕÞÉÌÉ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅ-
                                                         n=2
ÓËÉÊ ÒÑÄ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.

Страницы