Ряды. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ 27
ðÒÉ R 6= 0 ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ (5) × ÔÏÞËÁÈ x = x
0
− R É x = x
0
+ R
ÐÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÏÔÄÅÌØÎÏ. áÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ (5) ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÉÚ ËÏÎÃÏ×
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ×ÌÅÞÅÔ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ É ÎÁ ÄÒÕÇÏÍ
ËÏÎÃÅ ÜÔÏÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ.
ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
∞
X
n=1
3
n
x
n
n
2
.
òÅÛÅÎÉÅ: ôÁË ËÁË a
n
=
3
n
n
2
, ÔÏ ÐÒÉÍÅÎÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ (7).
1
R
= lim
n→∞
n
r
3
n
n
2
= 3 =⇒ R =
1
3
.
äÌÑ ÐÏÌÎÏÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ
ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ × ÔÏÞËÁÈ x = −
1
3
É x =
1
3
. ðÕÓÔØ x = −
1
3
, ÔÏÇÄÁ
3
n
n
2
·
−
1
3
n
=
(−1)
n
n
2
,
É ÒÑÄ
∞
P
n=1
(−1)
n
n
2
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ. ôÅÐÅÒØ ÐÕÓÔØ x =
1
3
, ÔÏÇÄÁ
3
n
n
2
·
1
3
n
=
1
n
2
, É ÒÑÄ
∞
P
n=1
1
n
2
ÓÈÏÄÉÔÓÑ (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 15 §2).
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ
ÏÔÒÅÚÏË
−
1
3
;
1
3
.
ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
(9) x +
x
2
2
+
x
3
3
+ . . . +
x
n
n
+
x
n+1
n + 1
+ . . .
òÅÛÅÎÉÅ: õ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ a
n
=
1
n
. ðÒÉÍÅÎÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ (8). òÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉ-
ÍÏÓÔÉ
R = lim
n→∞
a
n
a
n+1
= lim
n→∞
n + 1
n
= 1.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ × ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−1; 1). ôÅÐÅÒØ ÉÓÓÌÅ-
ÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÑÄÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÁÈ ÎÁÊÄÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÉ x = −1
É ÐÒÉ x = 1. åÓÌÉ x = −1, ÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÑÄ
−1 +
1
2
−
1
3
+ . . . + (−1)
n
1
n
+ . . . ,
ËÏÔÏÒÙÊ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ. åÓÌÉ x = 1, ÔÏ ÉÚ (9) ÐÏÌÕÞÁÅÍ
ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÒÑÄ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÌÁÓÔØÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏË
[−1; 1).
§4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ                                                           27

   ðÒÉ R 6= 0 ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ (5) × ÔÏÞËÁÈ x = x0 − R É x = x0 + R
ÐÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÏÔÄÅÌØÎÏ. áÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ (5) ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÉÚ ËÏÎÃÏ×
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ×ÌÅÞÅÔ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ É ÎÁ ÄÒÕÇÏÍ
ËÏÎÃÅ ÜÔÏÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ.
   ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
                                                      ∞
                                                      X 3n xn
                                                                 .
                                                      n=1
                                                            n2
                                               3n
     òÅÛÅÎÉÅ: ôÁË ËÁË an =                  ÔÏ ÐÒÉÍÅÎÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ (7).
                                               n2 ,
                                          r
                                  1           n
                                          n 3                 1
                                    = lim       = 3  =⇒   R =   .
                                  R n→∞ n2                    3
   äÌÑ ÐÏÌÎÏÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ
                                                                 n        n       n
ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ × ÔÏÞËÁÈ x = − 13 É x = 13 . ðÕÓÔØ x = − 31 , ÔÏÇÄÁ n3 2 · − 31 = (−1)
                                                                              n 2   ,
       ∞
       P (−1)n                                                              1
É ÒÑÄ      n2 ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ. ôÅÐÅÒØ ÐÕÓÔØ x = 3 , ÔÏÇÄÁ
             n=1
                                  ∞
3n
         1 n       1                    1
                                 P
n2   ·   3     =   n2 ,   É ÒÑÄ         n2   ÓÈÏÄÉÔÓÑ (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 15 §2).
                                  n=1
  ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ
          1 1
               
ÏÔÒÅÚÏË − 3 ; 3 .
  ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
                                     x2 x3        xn   xn+1
(9)                               x+   +   + ...+    +      + ...
                                     2   3        n    n+1
  òÅÛÅÎÉÅ: õ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ an = n1 . ðÒÉÍÅÎÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ (8). òÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉ-
ÍÏÓÔÉ
                           an           n+1
                 R = lim          = lim      = 1.
                     n→∞ an+1       n→∞  n
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ × ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−1; 1). ôÅÐÅÒØ ÉÓÓÌÅ-
ÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÑÄÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÁÈ ÎÁÊÄÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÉ x = −1
É ÐÒÉ x = 1. åÓÌÉ x = −1, ÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÑÄ
                                             1 1               1
                                   −1 +       − + . . . + (−1)n + . . . ,
                                             2 3               n
ËÏÔÏÒÙÊ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ. åÓÌÉ x = 1, ÔÏ ÉÚ (9) ÐÏÌÕÞÁÅÍ
ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÒÑÄ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
   ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÌÁÓÔØÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏË
[−1; 1).

Страницы