Ряды. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

26 §4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ
éÔÁË, ÒÑÄ (3)
ÐÒÉ x < −3, x > 1 ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ,
ÐÒÉ x = −3 ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏ,
ÐÒÉ −3 < x 6 1 ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
÷ ÉÔÏÇÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÑÄ (3) ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ x 6 −3 É ÐÒÉ x > 1.
4.2. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
åÓÌÉ ÞÌÅÎÙ u
n
(x) ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ (1) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÍÉ ÆÕÎËÃÉ-
ÑÍÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x, ÔÏ ÒÑÄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÍ, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÔÅÐÅÎÎÙÍ ÒÑÄÏÍ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄ ×ÉÄÁ
(5)
∞
X
n=0
a
n
(x − x
0
)
n
=
= a
0
+ a
1
(x − x
0
) + a
2
(x − x
0
)
2
+ . . . + a
n
(x − x
0
)
n
+ . . . ,
ÇÄÅ x
0
ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, Á a
0
, a
1
, a
2
, a
3
, . . . ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ËÏÜÆ-
ÆÉÃÉÅÎÔÙ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ x
0
= 0, ÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
(6)
∞
X
n=0
a
n
x
n
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
+ . . .
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ (5) É (6) ×ÓÅÇÄÁ ÓÈÏÄÑÔÓÑ ÐÒÉ x = x
0
ÉÌÉ x = 0
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ëÁÖÄÙÊ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ (5) ÓÈÏÄÉÔÓÑ ×ÎÕÔÒÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÓÈÏ-
ÄÉÍÏÓÔÉ {x : |x − x
0
| < R}. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ (5) ÉÌÉ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ
Ó ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ, ÉÌÉ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ Ë ÎÅÍÕ ÏÄÎÏÊ ÉÌÉ
ÏÂÅÉÈ ËÏÎÃÅ×ÙÈ ÔÏÞÅË.
þÉÓÌÏ R ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÄÉÕÓÏÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ. åÓÌÉ ÒÁÄÉ-
ÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ R = 0, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÊ
ÔÏÞËÉ x = x
0
. åÓÌÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ R = +∞, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÓÈÏÄÉÍÏ-
ÓÔÉ ÒÑÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÁÑ ÐÒÑÍÁÑ, ÔÏ ÅÓÔØ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ
x ∈ (−∞; +∞). åÓÌÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ R > 0, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (x
0
− R; x
0
+ R), ×ÏÚ-
ÍÏÖÎÏ, Ó ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ Ë ÎÅÍÕ ÏÄÎÏÊ ÉÌÉ ÏÂÅÉÈ ËÏÎÃÅ×ÙÈ ÔÏÞÅË.
òÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ R ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ ëÏÛÉáÄÁÍÁÒÁ
(7)
1
R
= lim
n→∞
n
p
|a
n
| (ÅÓÌÉ ÐÒÅÄÅÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ).
òÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ R ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎ ÔÁËÖÅ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
(8) R = lim
n→∞
a
n
a
n+1
(ÅÓÌÉ ÐÒÅÄÅÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ).
26                                                               §4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ
                    
                     ÐÒÉ x < −3, x > 1 ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ,
      éÔÁË, ÒÑÄ (3)   ÐÒÉ     x = −3      ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏ,
                      ÐÒÉ −3 < x 6 1 ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
                    
     ÷ ÉÔÏÇÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÑÄ (3) ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ x 6 −3 É ÐÒÉ x > 1.

4.2. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ

åÓÌÉ ÞÌÅÎÙ un (x) ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ (1) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÍÉ ÆÕÎËÃÉ-
ÑÍÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ x, ÔÏ ÒÑÄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÍ, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÔÅÐÅÎÎÙÍ ÒÑÄÏÍ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄ ×ÉÄÁ
      ∞
      X
(5)         an (x − x0)n =
      n=0
                      = a0 + a1 (x − x0) + a2 (x − x0)2 + . . . + an (x − x0)n + . . . ,
ÇÄÅ x0 ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, Á a0 , a1 , a2, a3 , . . . ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ËÏÜÆ-
ÆÉÃÉÅÎÔÙ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ x0 = 0, ÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
                    ∞
                    X
(6)                       an x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . .
                    n=0

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ (5) É (6) ×ÓÅÇÄÁ ÓÈÏÄÑÔÓÑ ÐÒÉ x = x 0 ÉÌÉ x = 0
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ëÁÖÄÙÊ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ (5) ÓÈÏÄÉÔÓÑ ×ÎÕÔÒÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÓÈÏ-
ÄÉÍÏÓÔÉ {x : |x − x0| < R} . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ (5) ÉÌÉ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ
Ó ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ, ÉÌÉ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ Ë ÎÅÍÕ ÏÄÎÏÊ ÉÌÉ
ÏÂÅÉÈ ËÏÎÃÅ×ÙÈ ÔÏÞÅË.
   þÉÓÌÏ R ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÄÉÕÓÏÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ. åÓÌÉ ÒÁÄÉ-
ÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ R = 0, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÊ
ÔÏÞËÉ x = x0. åÓÌÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ R = +∞, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÓÈÏÄÉÍÏ-
ÓÔÉ ÒÑÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÁÑ ÐÒÑÍÁÑ, ÔÏ ÅÓÔØ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ
x ∈ (−∞; +∞). åÓÌÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ R > 0, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (x 0 − R; x0 + R), ×ÏÚ-
ÍÏÖÎÏ, Ó ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ Ë ÎÅÍÕ ÏÄÎÏÊ ÉÌÉ ÏÂÅÉÈ ËÏÎÃÅ×ÙÈ ÔÏÞÅË.
   òÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ R ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ ëÏÛÉ áÄÁÍÁÒÁ
                1        p
(7)               = lim n |an | (ÅÓÌÉ ÐÒÅÄÅÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ).
               R n→∞
òÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ R ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎ ÔÁËÖÅ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
                                   an
(8)                R = lim                   (ÅÓÌÉ ÐÒÅÄÅÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ).
                           n→∞    an+1

Страницы