Ряды. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ 29
Ç) ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
Z
"
∞
X
n=0
a
n
(x − x
0
)
n
#
dx =
∞
X
n=0
a
n
n + 1
(x − x
0
)
n+1
+ C, ÇÄÅ C ÌÀÂÏÅ ÞÉÓÌÏ.
ðÒÉÍÅÒ 6. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ
(10) ln(1 − x
3
) = −x
3
−
x
6
2
−
x
9
3
− . . . −
x
3n
n
− . . . ÐÒÉ |x| < 1
É
(11) ln(1 − x) = −x −
x
2
2
−
x
3
3
− . . . −
x
n
n
− . . . ÐÒÉ |x| < 1.
îÁÊÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ x
0
= 0 ÆÕÎËÃÉÉ
f(x) = ln(1 + x + x
2
) ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−1; 1).
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ f(x) × ×ÉÄÅ
f(x) = ln(1 + x + x
2
) = ln
1 − x
3
1 − x
= ln(1 − x
3
) − ln(1 − x).
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÓÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× É ÆÏÒ-
ÍÕÌÙ (10) É (11), ÐÏÌÕÞÉÍ
ln(1 + x + x
2
) =
= −x −
x
2
2
−
1 +
1
3
x
3
−
x
4
4
−
x
5
5
−
1
2
+
1
6
x
6
−
x
7
7
− . . . , |x| < 1.
ðÒÉÍÅÒ 7. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f(x) = arctg x × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎ-
ÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ 0 ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−1; 1), ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
(12)
1
1 + x
2
= 1 − x
2
+ x
4
− x
6
+ . . . + (−1)
n−1
x
2n−2
+ . . . , |x| < 1.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÏÓËÏÌØËÕ
arctg x =
x
Z
0
dt
1 + t
2
,
ÔÏ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (12) É Ó×ÏÊÓÔ×Ï Ï ÐÏÞÌÅÎÎÏÍ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÓÔÅ-
ÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×, ÐÏÌÕÞÉÍ
arctg x =
x
Z
0
(1 − t
2
+ t
4
− t
6
+ . . . + (−1)
n−1
t
2n−2
+ . . .) dt =
= x −
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+ . . . + (−1)
n−1
x
2n−1
2n − 1
+ . . . , |x| < 1.
§4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ                                                                   29

     Ç) ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
    Z "X∞                    ∞
                        #
                      n
                            X    an
           an (x − x0) dx =         (x − x0)n+1 + C, ÇÄÅ C                    ÌÀÂÏÅ ÞÉÓÌÏ.
       n=0                  n=0
                                n+1
     ðÒÉÍÅÒ 6. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ
                         3    x6 x9
                                  3        x3n
(10)        ln(1 − x ) = −x −   −   − ...−     − . . . ÐÒÉ |x| < 1
                              2   3         n
É
                              x2 x3           xn
(11)        ln(1 − x) = −x −     −    − ...−     − . . . ÐÒÉ |x| < 1.
                               2    3         n
   îÁÊÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ x0 = 0 ÆÕÎËÃÉÉ
f (x) = ln(1 + x + x2 ) ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−1; 1).
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) × ×ÉÄÅ
                                 1 − x3
           f (x) = ln(1 + x + x2) = ln  = ln(1 − x3) − ln(1 − x).
                                  1−x
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÓÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× É ÆÏÒ-
ÍÕÌÙ (10) É (11), ÐÏÌÕÞÉÍ
    ln(1 + x + x2) =
               x2              x4 x5               x7
                                          
                       1    3            1 1    6
      = −x −      − 1+     x −   −   −    +    x −    − ...,                       |x| < 1.
               2       3       4   5     2 6       7
   ðÒÉÍÅÒ 7. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = arctg x × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎ-
ÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ 0 ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−1; 1), ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
           1
(12)          2
                = 1 − x2 + x4 − x6 + . . . + (−1)n−1x2n−2 + . . . , |x| < 1.
         1+x
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÏÓËÏÌØËÕ
                                        Zx
                                              dt
                            arctg x =              ,
                                            1 + t2
                                                 0
ÔÏ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (12) É Ó×ÏÊÓÔ×Ï Ï ÐÏÞÌÅÎÎÏÍ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÓÔÅ-
ÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×, ÐÏÌÕÞÉÍ
                Zx
    arctg x =        (1 − t2 + t4 − t6 + . . . + (−1)n−1t2n−2 + . . .) dt =
                0
                            x3 x5 x7                 n−1 x
                                                           2n−1
                        =x−   +   −   + . . . + (−1)            + ...,             |x| < 1.
                            3   5   7                   2n − 1

Страницы